Geometri Euclid

Geometri Euclid

Semasa hidupnya, Euclid menghasilkan banyak karya. Karyanya yang paling berpengaruh berjudul (Euclid’s Elements), yang merupakan risalah tentang matematika dan geometri yang terdiri dari 13 Buku (Buku I hingga Buku XIII).
Dalam risalah tersebut, terdapat kumpulan :

· 131 definisi
· 5 postulat
· 5 notasi umum
· 465 proposisi

Garis besar isi masing-masing buku adalah :
Buku I : Geometri bidang yang melibatkan garis lurus
Buku II : Aljabar geometri
Buku III : Geometri bidang yang melibatkan lingkaran
Buku IV : Konstruksi tentang garis lurus di dalam dan keliling lingkaran
Buku V : Perbandingan
Buku VI : Bentuk yang sebangun
Buku VII : Dasar-dasar teori bilangan
Buku VIII : Perbandingan lanjutan
Buku IX : Aplikasi teori bilangan
Buku X : Besaran yang tidak dapat dibandingkan
Buku XI : Dasar ilmu ukur bidang dan ruang/dimensi 3
Buku XII : Kesebangunan pada segi banyak beraturan dan bangun ruang
Buku XIII : Benda pejal/padat

Pada bahasan ini akan membahas tentang pengertian dan euclid’s element dari komponen utama yang digunakan dalam geometri.

1. Definisi
Definisi adalah rumusan tentang makna dari suatu benda, aktifitas, proses dan yang lainnya yang menjadi suatu konsep atau pokok bahasan agar lebih mudah dipahami dan memiliki batasan untuk lebih mudah dimengerti. Dalam pembelajaran matematika, definisi dari suatu pokok bahasan menjadi bagian penting untuk dijelaskan terlebih dahulu kepada siswa. Dalam pembelajaran geometri ada beberpa definisi pada komponen utama geometri euclid yang tercantum pada buku 1 “the element”, yaitu:

· Definisi 1: Titik adalah sesuatu yang tidak punya bagian (sesuatu yang punya posisi tetapi tidak punya dimensi)
· Definisi 2: garis sesuatu yang punya panjang tetapi tidak punya lebar
· Definisi 3: Ujung-ujung suatu garis adalah titik
· Definisi 4: Garis lurus adalah garis yang terletak secara rata dengan titik-titik pada dirinya
· Definisi 5: Bidang adalah sesuatu yang hanya mempunyai panjang dan lebar
· Definisi 6: Sisi-sisi dari bidang berupa garis
· Definisi 7: Bidang datar adalah bidang yang terletak secara rata dengan garis-garis lurus pada dirinya
· Definisi 8: Sudut bidang terbentuk dari dua garis pada bidang yang bertemu pada sebuah titik dan tidak terletak dalam sebuah garis lurus
· Definisi 9: Dan ketika garis-garis yang membentuk sudut lurus, sudut tersebut disebut rectilinear
· Definisi 10: Ketika garis lurus berdiri pada sebuah garis lurus dan membentuk sudut berdekatan yang besarnya sama, masing-masing sudut tersebut adalah sudut siku-siku, dan garis yang berdiri dikatakan tegak lurus dengan garis kurus tempatnya berdiri
· Definisi 11: Sudut tumpul adalah sudut yang lebih besar dari sudut siku-siku.
· Definisi 12: Sudut lancip adalah sudut yang lebih kecil dari sudut siku-siku.
· Definisi 13: Batas adalah sesuatu yang merupakan ujung dari apapun
· Definisi 14: Bangun adalah sesuatu yang dibentuk oleh batas atau batas-batas.
· Definisi 15: Lingkaran adalah bangun datar yang dibentuk oleh satu garis sedemikian hingga semua garis lurus yang jatuh pada bangun tersebut dari sebuah titik di dalam bangun tersebut pada bangun tersebut panjangnya sama
· Definisi 16: Dan titik tersebut disebut pusat lingkaran
· Definisi 17: Diameter lingkaran adalah suatu garis lurus yang digambar melalui pusat lingkaran dan berakhir di dua arah keliling lingkaran
· Definisi 18: Setengah lingkaran adalah bangun yang dibangun oleh diameter dan keliling lingkaran yang dipotong oleh diameter
· Definisi 19: Bangun-bangun rectilinear adalah bangun-bangun yang dibentuk oleh garis luru Bangun segitiga adalah bangun yang dibentuk oleh tiga garis lurus, bangun segiempat adalah bangun yang dibentuk oleh empat garis lurus, bangun segibanyak adalah bangun yang dibentuk oleh lebih dari empat garis lurus
· Definisi 20: Dari bangun segitiga, segitiga sama sisi adalah segitiga yang memiliki tiga sisi yang sama, segitiga sama kaki adalah segitiga yang memiliki dua sisi yang sama, segitiga sembarang (segitiga tak sama panjang) adalah segitiga yang ketiga sisinya tidak ada yang sama
· Definisi 21: Selanjutnya, pada bangun segitiga, segitiga siku-siku adalah segitiga yang memiliki sudut siku- siku, segitiga tumpul adalah segitiga yang memiliki sudut tumpul, segitiga lancip adalah segitiga yang memiliki sudut lancip
· Definisi 22: Pada bangun segiempat, persegi adalah bangun yang semua sisinya memiliki panjang yang sama dan memiliki sudut siku-siku, persegi panjang adalah bangun yang memilik sudut siku- siku tetapi tidak memiliki dua pasang sisi yang panjangnya sama, belah ketupat adlah bangun yang semua panjang sisinya sama tetapi tidak memiliki sudut suku-siku
· Definisi 23: Garis-garis lurus sejajar adalah garis lurus yang berada pada bidang datar yang sama, dan jika diperpanjang secara terus menerus pada kedua arah tidak akan berpotongan .

2. Aksioma
Aksioma adalah pernyataan yang diakui kebenarannya tanpa memerlukan pembuktian (Pratama & Hernadi, 2018). Contoh aksioma pada geometri euclid yang tercantum pada buku “the element” adalah :
· Aksioma 1: Hal-hal yang sama adalah sama dengan suatu yang lain
· Aksioma 2: Jika sesuatu yang sama ditambah dengan sesuatu yang sama, jumlahnya sam A=B, C=D maka A+C=B+D
· Aksioma 3: Jika sesuatu yang sama dikurangi dengan sesuatu yang sama, sisanya sama
· Aksioma 4: Hal-hal yang berimpit satu sama lain, hal-hal tersebut sama
· Aksioma 5: Keseluruhan lebih besar dari pada sebagian

3. Postulat
Postulat adalah asumsi yang menjadi pangkal dalil yang dianggap benar tanpa perlu membuktikannya. Contoh postulat pada geometry euclid adalah:
· Postulat 1: Melalui dua titik sebarang dapat dibuat garis lurus
· Postulat 2: Ruas garis dapat diperpanjang secara kontinu menjadi garis lurus
· Postulat 3:Melalui sebarang titik dan sebarang jarak dapat dilukis lingkaran
· Postulat 4: Semua sudut siku-siku sama
· Postulat 5: Jika suatu garis lurus memotong dua garis lurus dan membuat sudut-sudut dalam sepihak kurang dari dua sudut siku-siku, kedua garis tersebut jika diperpanjang tak terbatas, akan bertemu dipihak tempat kedua sudut dalam sepihak kurang dari dua sudut siku-siku

4. Proposisi
Proposisi adalah suatu hasil yang terbukti dan sering menarik.
Contoh proposisi geometry euclid:
· Proposisi 1: Jika diberikan garis lurus dengan panjang terbatas, maka dapat dibuat segitiga sama sisi.
· Proposisi 2: Jika diberikan sebuah garis lurus dan sebuah titik di luar garis, maka melalui titik tersebut dapat dibuat garis lurus yang panjangnya sama dengan garis lurus yang diberikan.
· Proposisi 3: Jika diberikan dua garis lurus dengan panjang berbeda, maka garis lurus yang lebih panjang dapat dipotong sehingga panjangnya sama dengan garis lurus yang lebih pendek.
· Proposisi 4: Jika dua buah segitiga memiliki dua sisi bersesuaian yang panjangnya sama dan sudut-sudut yang dibentuk oleh kedua sisi tersebut besarnya juga sama, maka panjang sisi dan besar sudut yang bersesuaian lainnya juga sama.
· Proposisi 5: Dalam segitiga sama kaki, sudut-sudut alas besarnya sama dan jika kedua kaki diperparjang maka sudut-sudut di bawah alas juga sama besar.
· Proposisi 6: Jika dua sudut dalam sebuah segitiga besarnya sama, maka sisi-sisi yang berhadapan dengan sudut tersebut panjangnya juga sama.
· Proposisi 7: Jika alas dua buah segitiga berimpit, dan sisi-sisi yang bersesuaian pada dalam segitiga-segitiga tersebut sama panjang dan searah, maka titik potong sisi-sisi yang bersesuaian dalam setiap segitiga berimpit
· Proposisi 8: Jika sisi-sisi yang bersesuaian dalam setiap segitiga panjangnya sama, maka sudut-sudut yang bersesauaian besarnya juga sama.
· Proposisi 9: Sudut rectilinear dapat dibagi menjadi dua sama besar.
· Proposisi 10: Garis lurus terbatas dapat dibagi menjadi dua bagian yang sama panjang
· Proposisi 11: Jika diberikan sebuah garis lurus dan sebuah titik pada garis lurus tersebut, maka melalui titik tersebut dapat dibuat garis lurus yang tegak lurus pada garis lurus yang diberikan
· Proposisi 12: Jika diberikan sebuah garis lurus dan sebuah titik di luar garis lurus tersebut, maka melalui titik tersebut dapat dibuat garis lurus yang tegak lurus pada garis lurus yang di berikan.
· Proposisi 13: jika sebuah garis lurus berdiri pada sebuah garis lurus, maka akan membentuk dua sudut siku siku atau sudut yang jumlahnya sama dengan dua sudut siku siku.
· Proposisi 14: Diberikan sebuah garis lurus dan sebuah titik pada garis tersebut, jika dua daris lurus melalui titik tersebut dan membentuk sudut yang besarnya sama dengan dua kali sudut siku-siku, maka kedua garis lurus tersebut segaris.
· Proposisi 15: Jika dua buah garis lurus berpotongan, maka akan terbentuk dua sudut bertolak belakang yang besarnya sama. Akibat : jika dua buah garis lurus berpotongan, maka sudut-sudut pada titik potong tersebut jumlahnya sama dengan empat sudut siku siku.
· Proposisi 16: Jika salah satu sisi dalam segitiga diperpanjang, maka sudut eksteriornya lebih besar dari pada sudut interior yang tidak bersisian.
· Proposisi 17: Jumlah dua sudut dalam segitiga kurang dari dua sudut siku-siku.
· Proposisi 18: Dalam segitiga, sudut dihadapan sisi yang lebih panjang juga lebih besar.
· Proposisi 19: Dalam segitiga, sisi dihadapan sudut yang lebih besar juga lebih panjang.
· Proposisi 20: Jumlah dua sisi dalam segitiga lebih besar dari sisi yang lainnya.
· Proposisi 21: Jika dari ujung –ujung ujung salah satu sisi segitiga dibuat dua garis lurus sedemikian hingga membentuk segitiga baru, maka jumlah kedua sisi (yang tidak berimpit) segitiga baru lebih kecil daripada jumlah kedua sisi (yang tidak berimpit) segitiga awal, tetapi besar sudut yang dibentuk lebih besar.
· Proposisi 22 Jika diberikan tiga garis lurus maka dari garis lurus, maka dapat dibentuk sebuah segitiga.
· Proposisi 23: Jika diberikan sebuah sudut dan sebuah garis lurus, maka melalui garis lurus tersebut dapat dibuat sudut yang besarnya sama dengan yang diberikan.
· Proposisi 24: Jika dua buah segitiga memiliki dua sisi yang bersesuaian, tetapi sudut yang dibentuk oleh sisi- sisi tersebut pada segitiga pertama lebih besar, maka alas segitiga pertama lebih panjang.
· Proposisi 25: Jika dua buah segitiga memiliki dua bersesuaian sisi yang sama besar, tetapi sisi lainnya pada segitiga pertama lebih besar daripada yang di segitiga yang ke dua, maka sudut yang berhadapan dengan sisi yang lebih besar pada segitiga pertama juga lebih besar daripada yang di segitiga ke dua.
· Proposisi 26: Jika dua buah segitiga memiliki dua sudut bersesuaian sama besar dan sisi yang terkait dengan sudut-sudut tersebut sama panjang, maka sudut dan sisi yang bersesuaian lainnya juga sama besar.
· Proposisi 27: Jika sebuah garis lurus memotong dua garis lurus dan membentuk sudut dalam berseberangan yang sama besar, maka kedua garis lurus yang dipotong btersebut sejajar.
· Proposisi 28: Jika sebuah garis lurus memotong dua garis lurus dan membentuk sudut eksterior sama dengan sudut interior yang tidak bersisian (sehadap), atau jumlah sudut interiornya sama dengan dua sudut siku-siku, maka kedua garis lurus yang dipotong tersebut sejaj
· Proposisi 29: Jika sebuah garis lurus memotong dua garis lurus yang sejajar dan membentuk sudut dalam berseberangan yang sama besar, maka sudut eksterior sama dengan sudut interior yang tidak bersisian (sehadap), dan jumlah sudut interiornya sama dengan dua sudut siku-siku.
· Proposisi 30: Jika dua buah garis lurus sejajar dengan sebuah garis lurus, maka kedua garis lurus tersebut sejajar satu sama lain.
· Proposisi 31: Melalui sebuah titk di luar garis lurus dapat dibuat garis lurus yang sejajar dengan garis lurus tersebut.
· Proposisi 32: Dalam sebuah segitiga, jika salah satu sisi diperpanjang, maka besar sudut eksterior sama dengan jumlah besar sudut interior yang tidak bersisian.
· Proposisi 33: Garis lurus yang terkait dengan ujung-ujung garis lurus yang sejajar dan sama panjang juga sejajar dan sama panj
· Proposisi 34: Dalam jajar genjang, sudut-sudut yang tidak bersisian (berhadapan) sama besar dan diagonalnya membagi dua daerahnya sama besar.
· Proposisi 35: Jika dua buah jajargenjang terletak pada garis-garis sejajar yang sama dan alasanya berimpit maka luas kedua jajargenjang tersebut sam
· Proposisi 36: Jika dua buah jajargenjang terletak pada garis-garis sejajar yang sama dan alasanya sama panjang maka luas kedua jajargenjang tersebut sama
· Proposisi37: Jika dua buah segitiga terletak pada garis-garis sejajar yang sama dan alasnya berimpit maka luas kedua jajargenjang tersebut sam
· Proposisi 38: Jika dua buah segitiga terletak pada garis-garis sejajar yang sama dan alasanya sama panjang maka luas kedua jajargenjang tersebut sam
· Proposisi 39: Jika dua buah segitiga memiliki luas yang sama dan alasnya serta sisinya berimpit, maka kedua segitiga tersebut terletak pada garis-garis sejajar yang sam
· Proposisi 40: Jika dua buah segitiga memiliki luas yang sama dan alasnya serta sisinya sama panjang, maka kedua segitiga tersebut terletak pada garis-garis sejajar yang sam
· Proposisi 41: Jika sebuah jajargenjang memiliki alas yang berimpit dengan alas sebuah segitiga dan terletak dalam garis sejajar yang sama, maka luas jajargenjang sama dengan dua kali alas segitiga
· Proposisi 42: Jika diberikan sebuah segitiga dan sebuah sudut rectilinear, maka melalui sudut rectilinier tersebut dapat dibuat jajargenjang yang luasnya sama dengan dua kali luas segitiga tersebut.
· Proposisi 43: Dalam jajargenjang, komplemen-komplemen jajargenjang pada diagonal memiliki luas yang sama
· Proposisi 44: Jika diberikan sebuah garis lurus, sebuah sudut rectilinear, dan sebuah segitiga, maka melalui sudut dan garis lurus tersebut dapat dibuat sebuah jajargenjang yang luasnya sama dengan dua luas segitiga yang diberikan.
· Proposisi 45: Jika diberikan sebuah sudut dan sebuah bidang rectilinear, maka melalui sudut tersebut dapat dibuat jajargenjang yang luasnya sama dengan bidang yang diberikan.
· Proposisi 46: Melalui sebuah garis dapat dibuat sebuah jajargenj
· Proposisi 47: Dalam segitiga siku-siku, kuadrat sisi di hadapan sudut siku-siku sama dengan jumlah kuadrat dua sisi yang lainny
· Proposisi 48: Jika dalam segitiga kuadrat salah satu sisi sama dengan jumlah kuadrat dua sisi yang lainnya, maka sudut yang dibentuk oleh dua sisi yang lainnya tersebut adalah siku-siku.

Sejarah Pyhtagoras

1. Sejarah Pythagoras

Pythagoras adalah seorang matematikawan dan filsuf Yunani yang paling dikenal melalui teoremanya. Dikenal sebagai "Bapak Bilangan", dia memberikan sumbangan yang penting terhadap filsafat dan ajaran keagamaan pada akhir abad ke-6 SM. Kehidupan dan ajarannya tidak begitu jelas akibat banyaknya legenda dan kisah-kisah buatan mengenai dirinya. Phytagoras memiliki peran yang besar terhadap dunia Matematika. Salah satu peninggalan Pythagoras yang terkenal adalah teorema Pythagoras, yang menyatakan bahwa kuadrat hipotenusa dari suatu segitiga siku-siku adalah sama dengan jumlah kuadrat dari kaki-kakinya (sisi-sisi siku-sikunya). Walaupun fakta di dalam teorema ini telah banyak diketahui sebelum lahirnya Pythagoras, namun teorema ini dikreditkan kepada Pythagoras karena ia yang pertama kali membuktikan pengamatan ini secara matematis

Pythagoras dan murid-muridnya percaya bahwa segala sesuatu di dunia ini berhubungan dengan matematika, dan merasa bahwa segalanya dapat diprediksikan dan diukur dalam siklus beritme. Ia percaya keindahan matematika disebabkan segala fenomena alam dapat dinyatakan dalam bilangan-bilangan atau perbandingan bilangan. 

Selain teorema Phytagoras masih ada beberapa aliran matematika Phytagoras yang mempengaruhi perkembangan matematika dunia saat ini yang perlu kita ketahui. Di makalah ini kami akan menyajikan secara rinci tentang bagaimana peran Phytagoras terhadap perkembangan Matematika Dunia serta sejarah singkat mengenai aliran matematika yang dibawanya.

2. Aliran Pythagoras 

2.1.Pythagoras dan Theano

Pythagoras ( 570 – 500 S.M. ) lahir di Samos, pesisir pulau Yunani yang sekarang kita kenal dengan Turki. Menurut Iamblicus, Porphyry dan Diogenes Laertus, Pythagoras belajar dari orang-orang Babilonia, dan ia mungkin telah bertemu dengan Nabi Daniel di Babilonia. Dari lempengan tanah liat Plimpton 322, kita mengenal bahwa sebenarnya bangsa Babilonia telah mengerjakan teori ‘segitiga Pythagoras’ dan Pythagoras mempelajari itu dari mereka. Pythagoras mungkin yang pertama kali menemukan bukti teorema Pythagoras, tetapi tentu saja bukan ia sendiri yang menemukan teorema tersebut. 

Menurut Iamblicus, Porphyry dan Diogenes Laertus, Pythagoras juga belajar dari ‘Magi’ atau aliran Zoroastria. Tentu saja, tidak mungkin Pythagoras berbicara langsung dengan Zoroaster sendiri. Juga tidak mungkin bahwa Pythagoras belajar di India. Dia percaya reinkarnasi yang tentu saja dimiliki oleh bangsa asli India. Barangkali Pythagoras telah bertemu Budha, yang hidup pada jaman yang sama. 

Kira-kira tahun 525 S.M. Pythagoras pindah ke Corton, kota di sebelah selatan Italia, dan mendirikan persaudaraan aliran Pythagoras. Dia menikah dengan wanita aliran Pythagoras yang bernama Theano. Theano mungkin menjadi matematikawati pertama. 

2.2.Mistisme Bilangan 

Sementara Thales menyatakan bahwa “semua adalah air” Pythagoras mengajarkan bahwa “semua adalah bilangan”. Bagi Pythagoras, hal ini berakibat bahwa segala sesuatu dapat dipahami dalam istilah bilangan cacah dan rasionya. Secara khusus, setiap ruas garis adalah suatu bilangan cacah atau rasio bilangan cacah. Meskipun penemuan irasionalitas panjang diagonal persegi dengan panjang sisi 1 dibuat oleh pengikut Pythagoras, Pythagoras sendiri tidak menyadari hal tersebut. 

Pythagoras memberi tempat yang istimewa pada bilangan 10. Dia menyebut bilangan ini “bilangan yang diagungkan”. Dia tertarik dengan bilangan tersebut dengan alasan-alasan berikut. Angka tersebut digunakan oleh orang Yunani kuno sebagai basis perhitungan. Sebagai jumlahan empat bilangan bulat positif pertama, hal ini merepresentasikan dimensi tiga – dengan 1 untuk titik, 2 untuk garis, 3 untuk bidang, dan 4 untuk ruang. Yang terakhir, ada sepuluh titik dalam bintang Pythagoras titik-lima. 

2.3.Matematika Aliran Pythagoras 

Aliran Pythagoras berasal dari semua penemuan matematika mereka untuk Pythagoras, tetapi tidak, pada kenyataannya, kita hanya mengetahui suatu teorema tunggal yang dominan. Prestasi Pythagoras termasuk hal-hal berikut:

• Pembuktian teorema Pythagoras. 

Aliran Pythagoras bertanggung jawab pada pembuktian teorema ini yang ditemukan oleh Euclid. Mereka juga menemukan bukti kebalikan dari teorema ini.

•  Rata-rata. 

Aliran Pythagoras memeriksa rata-rata aritmatika (a+b)/2, rata-rata geometrik , rata-rata harmonik 2ab/(a+b), dan hubungan antara mereka. 

• Bilangan Sempurna dan Bilangan Amicable. 

Suatu bilangan sempurna adalah suatu bilangan bulat positif, sebagai contoh 6, yang mana sama dengan jumlahan faktor sejatinya (faktor selain bilangan itu sendiri), yaitu bahwa: 6 = 1+2+3. Aliran Pythagoras menemukan suatu rumus yang memberikan bilangan sempurna genap. Suatu pasangan amicable adalah dua bilangan bulat positif, yang mana masing-masing merupakan jumlahan faktor sejati dari yang lain. Iamblichus (300 M), menghargai Pythagoras dengan suatu pengetahuan dari pasangan bilangan amicable 220 dan 284. 

• Benda Padat Beraturan (Regular Solid). 

Aliran Pythagoras menemukan bidang 12-beraturan, dan membuktikan bahwa ada 5 polihedra beraturan. Prestasi ini tidak dapat dikalahkan sampai J Kepler (1571 – 1630) menemukan ada bidang beraturan yang lebih kurang dan lebih besar bintang bidang 12.

• Irasionalitas 

Aliran Pythagoras menemukan bahwa itu bukan rasio dari bilangan cacah. Mereka menggunakan penyelesaian bulat persamaan x2 – 2y2 =1 untuk mencari pendekatan yang baik. 

• Bilangan figurative. 

Jika m adalah suatu bilangan bulat positif dan t adalah suatu bilangan bulat nonnegatif, maka suatu bilangan (m+2) -gonal adalah suatu bilangan asli yang berbentuk (m (t2-t)/2) + t 

Beberapa bilangan 3-gonal yang pertama, atau bilangan segitiga, adalah : 0, 1, 3, 6, 10,…

Beberapa bilangan 4-gonal yang pertama, atau bilangan persegi, adalah : 0, 1, 4, 9, 16, …

Beberapa bilangan 5-gonal yang pertama atau bilangan segilima, adalah : 0, 1, 5. 12, 22, …

Bilangan tersebut disebut ‘figurative‘, karena bilangan tersebut dapat ditunjukkan oleh gambar (figure) yang dibuat dari batu kerikil. 

Studi tentang bilangan “figurative” mengingatkan bagian utama dari teori bilangan. Salah satu hal pokok karir C.F Gauss (tahun 1777 – 1855 ) adalah buktinya bahwa setiap bilangan positif adalah jumlah dari 3 bilangan segitiga. Sebagai contoh lain, pada tahun 1989 paper yang berjudul Journal of Number theory oleh N Tzahakis dan B de Weger memperlihatkan bahwa terdapat tepat 6 bilangan segitiga yang merupakan hasil kali tiga bilangan bulat berturutan. (Bilangan yang terbesar dari bilangan segitiga ini adalah 258.474.216). 

• Bilangan Prima

Dalam sejarah Yunani kuno tercatat nama besar Pythagoras (570 – 500 SM), ia sangat terkenal lewat `Theorem of Pythagoras` dan memunculkan bilangan ganda 3 atau dikenal dengan istilah Pythagorean Triples yang sebenarnya telah ada sejak 1000 tahun sebelum masa Pythagoras. Menurut catatan sejarah bangsa Babilonia telah mengenal ganda 3 tersebut, yang terkenal dengan nama Babylonian Triples. Di dalam Babylonian tablet Plimton 322, yang diperkirakan berasal dari tahun 1700 S M, tercatat Babylonian Triples tersebut ketenarannya terkalahkan oleh ketenaran nama Pythagorean Triples. Sebenarnya, diantara keduanya terdapat perbedaan. Pada Babylonian Triples disyaratkan bahwa u dan v sebagai generator 2uv, u2 – v2 dan u2 + v2 yang merupakan ukuran sisi-sisi segitiga siku-siku, harus relatif prima dan tidak mempunyai faktor prima selain 2, 3 atau 5. Sebagai contoh, tiga angka seperti (56,90,106) adalah Babylonian Triples hal ini dimungkinkan karena jika u = 9 dan v = 5 dan disubstitusikan pada generatornya akan menghasilkan bilangan 56, 90, 106, tetapi untuk ketiga bilangan (28,45,53) adalah bilangan Pythagorian Triples tetapi bukan Babylonian Triple, karena untuk u = 7, u memiliki faktor prima 7 bukan 2 atau 3 atau 5.

Istilah Matematika

Dalam pembelajaran matematika dikenal beberapa istilah, namun sering kali kita tidak mengetahui apa arti dari istilah tersebut. Berikut beberapa istilah matematika serta artinya :

Absis: koordinat mendatar suatu titik dalam sistem koordinat bidang yang merupakan jarak titik ke sumbu y, dihitung sepanjang garis yang sejajar sumbu x.

Akar pangkat: akar pangkat n dari suatu bilangan adalah bilangan yang apabila dipangkatkan dengan n akan menghasilkan bilangan semula.

Alas: bagian dasar dari suatu bangun atau benda.

Balok: prisma yang sisi-sisinya berupa empat persegipanjang.

Bangun datar: bangun yang dibuat pada bidang datar.

Bangun ruang: bangun yang memiliki panjang, lebar, dan tinggi (ketebalan).

Bilangan asli: bilangan yang biasanya digunakan untuk menghitung dalam kehidupan sehari-hari, yaitu 1, 2, 3, 4, 5, ….

Bilangan bulat: bilangan asli (bulat positif), bilangan nol, dan bilangan bulat negatif

Busur derajat: alat berbentuk setengah lingkaran, yang digunakan untuk mengukur besarnya suatu sudut.

Data: sekumpulan bilangan atau kata yang didapat dari hasil menghitung, mengukur, atau mencatat sebagai bagian darisebuah proyek, survei, atau eksperimen.

Derajat: satuan ukuran sudut, atau satuan ukuran suhu.

Diagram: gambar yang menyatakan data tertentu.

Diagram batang: diagram yang menggunakan batang segi empat; panjang setiap batang menunjukkan jumlah atau ukuran sesuatu yang dihitung atau diukur.

Diagram lingkaran: diagram yang menggunakan daerah lingkaran untuk menggambarkan suatu keadaan. Diagram tersebut digambar dengan bentuk lingkaran yang dibagi menjadi beberapa bagian.

Diameter: garis yang membagi dua lingkaran menjadi dua bagian sama besar.

Faktor: bilangan yang dapat membagi habis bilangan asli.

Faktor persekutuan: bilangan bulat yang merupakan faktor dari dua bilangan bulat atau lebih.

Faktor persekutuan terbesar (FPB): faktor persekutuan yang terbesar dari dua atau lebih bilangan asli.

Faktorisasi prima: menguraikan bilangan menjadi faktor-daktor prima.

FPB: Faktor Persekutuan Terbesar

Jajargenjang: bangun datar segiempat di mana sisi-sisi yang berhadapannya sejajar dan sama panjang.

Jari-jari: jarak dari pusat lingkaran ke sebuah titik pada lingkaran.

Kuadrat: bilangan yang dikalikan dengan bilangan tersebut dua kali.

Kubik: bilangan pangkat tiga atau bilangan yang dikalikan terhadap bilangan tersebut sebanyak tiga kali.

Keliling: garis yang membatasi suatu bidang

Kelipatan: bilangan hasil kali dari suatu bilangan asli dengan lebih bilangan asli.

Kelipatan persekutuan: bilangan yang menjadi kelipatan dari dua atau lebih bilangan asli.

Koordinat: bilangan yang menunjukkan posisi titik pada sebuah grafik.

KPK : Kelipatan Persekutuan Terkecil

Kuantitas: banyaknya (benda dan sebagainya); jumlah (sesuatu)

Kubik: berpangkat tiga.

Kubus: bangun ruang yang memiliki enam bidang sisi yang berbentuk persegi.

Luas: ukuran dari total permukaan suatu bangun atau benda.

Modus: bilangan yang paling banyak muncul dalam sebuah himpunan bilangan.

Ordinat: koordinat suatu titik pada koordinat Kartesius dalam bidang yang merupakan jarak titik tersebut ke sumbu-x dihitung sepanjang garis yang sejajar sumbu-y.

Pecahan biasa: bilangan yang nilainya tidak bulat.

Penjumlahan: penambahan suatu bilangan atau lebih terhadap  bilangan lainnya

Perkalian: penjumlahan yang dilakukkan berulang

Pengurangan : mengurangkan suatu bilangan dengan bilangan lainnya

Pembagian : membagi suatu dengan bilangan lainnya atau operasi pengurangan bilangan yang sama sampai nol. 

Pembilang: bilangan dalam pecahan yang menunjukkan pembaginya.

Persegi: segiempat yang sama semua sisinya dan sama pula keempat sudutnya; segiempat beraturan.

Persen: nama lain suatu pecahan per seratus.

Peta: gambar atau lukisan pada kertas dan sebagainya yang menunjukkan letak tanah, laut, sungai, gunung, dan sebagainya.

Phi : perbandingan diameter dan keliling lingkaran nilainya  22/7 atau 3,1415926.

Phytagoras: persamaan untuk menghitung sisi segitiga siku-siku

Piktogram: diagram yang menyajikan informasi mengenai gambar-gambar atau simbol-simbol untuk menggantikan kata atau bilangan. Setiap simbol mewakili satu bilangan atau jumlah tertentu.

Prisma: bidang banyak yang memiliki sepasang sisi sejajar dan sebangun disebut alas, serta sisi lain yang didapatkan dengan menghubungkan puncak-puncak dari kedua alasnya.

Prisma tegak: prisma yang sisi-sisinya merupakan jajargenjang.

Prisma segitiga: prisma yang alasnya berupa segitiga.

Prisma segiempat: prisma yang alasnya berupa segiempat.

Prisma segilima: prisma yang alasnya berupa segilima.

Rusuk: garis atau ruas garis yang merupakan perpotongan dua muka bidang suatu bentuk geometri.

Segi banyak: bangun datar atau bidang yang memiliki banyak sisi; bangun yang memiliki tiga sisi lurus atau lebih.

Sisi: salah satu datar dari sebuah bangun ruang.

Skala: perbandingan ukuran besarnya gambar dengan keadaan yang sebenarnya.

Sumbu: garis utama melalui pusat bidang atau bagiannya.

Tabel: daftar bilangan yang disusun dalam baris dan kolom.

Tabung: bangun ruang yang bagian atas dan bawahnya berbentuk lingkaran.

Trapesium: segiempat yang memiliki empat sisi, dua sisi sejajar dan dua sisinya lagi tidak sejajar.

Turus: perhitungan jumlah dengan menggunakan tanda garis lurus atau miring.

Volume: bilangan yang menyatakan suatu besaran tiga dimensi; banyak ruang yang diisi.

Pendekatan PMRI

PENDEKATAN MATEMATIKA REALISTIK INDONESIA (PMRI)

Kata “realistik” merujuk pada pendekatan dalam pendidikan matematika yang telah dikembangkan di Belanda selama kurang lebih 30 tahun. Pembelajaran yang menekankan penggunaan masalah kontekstual sebagai titik awal pembelajaran matematika adalah Realistic Mathematics Education (RME). RME kemudian diadaptasi oleh Indonesia, yang kemudian dinamakan dengan Pendidikan Matematika Realistik Indonesia (PMRI). Pendekatan ini mengacu pada pendapat Freudenthal  yang mengatakan bahwa matematika harus dikaitkan dengan realita dan matematika merupakan aktivitas manusia. Pertama, matematika harus dekat terhadap siswa dan harus dikaitkan dengan situasi kehidupan sehari-hari. Kedua, matematika sebagai aktivitas manusia, sehingga siswa harus diberi kesempatan untuk belajar melakukan aktivitas matematisasi pada semua topik dalam matematika

PMRI adalah teori pembelajaran yang bertitik tolak dari hal-hal yang 'real' atau pernah dialami siswa, menekankan keterampilan proses 'doing mathematics', berdiskusi dan berkolaborasi, berargumentasi dengan teman sekelas sehingga mereka dapat menemukan sendiri ('student inventing') sebagai kebalikan dari ('teacher telling') dan pada akhirnya menggunakan matematika itu untuk menyelesaikan masalah baik secara individu maupun kelompok. Peran guru dalam penelitian ini, tak lebih dari seorang fasilitator, moderator atau evaluator sementara peran siswa lebih banyak dan aktif untuk berfikir, mengkomunikasikan argumentasinya, menjustifikasi jawaban mereka, serta melatih nuansa demokrasi dengan menghargai strategi atau pendapat teman lain. Atau dengan kata lain PMRI adalah salah satu pendekatan pembelajaran yang akan menggiring siswa memahami konsep matematika dengan mengkontruksi sendiri melalui pengetahuan sebelumnya yang berhubungan dengan kehidupan sehari-hari, menemukan sendiri konsep sehingga belajarnya menjadi bermakna.

Tiga prinsip PMRI

1.    Guided reinvention and didactical phenomenology

Karena matematika dalam belajar PMRI adalah sebagai aktivitas manusia maka guided reinvention dapat diartikan bahwa siswa hendaknya dalam belajar matematika harus diberikan kesempatan untuk mengalami sendiri proses yang sama saat matematika ditemukan. Prinsip ini dapat diinspirasikan dengan menggunakan prosedur secara informal. Upaya ini akan tercapai jika pengajaran yang dilakukan menggunakan situasi yang berupa fenomena-fenomena yang mengandung konsep matematika dan nyata terhadap kehidupan siswa.

2.    Progressive mathematization

Situasi yang berisikan fenomena yang dijadikan bahan dan area aplikasi dalam pengajaran matematika haruslah berangkat dari keadaan yang nyata terhadap siswa sebelum mencapai tingkatan matematika secara formal. Dalam hal ini dua macam matematisasi haruslah dijadikan dasar untuk berangkat dari tingkat belajar matematika secara real ke tingkat belajar matematika secara formal.

3.    Self-developed models

Peran self-developed models merupakan jembatan bagi siswa dari situasi real ke situasi konkrit atau dari informal matematika ke formal matematika. Artinya siswa membuat model sendiri dalam menyelesaikan masalah. Pertama adalah model suatu situasi yang dekat dengan alam siswa. Dengan generalisasi dan formalisasi model tersebut akan menjadi berubah menjadi model-of masalah tersebut. Model-of akan bergeser menjadi model-for masalah yang sejenis. Pada akhirnya akan menjadi model dalam formal matematika.

Karakteristik PMRI

PMRI mempunyai lima karakteristik yang sesuai dengan karakteristik RME ( de Lange, 1987, 1996; Treffers, 1991; Gravemeijer, 1994, Zulkardi, 2002). Secara ringkas kelimanya adalah:

1.    Menggunakan masalah kontekstual

Masalah kontekstual sebagai aplikasi dan sebagai titik tolak dari mana matematika yang diinginkan dapat muncul.

2.    Menggunakan model atau jembatan dengan instrumen vertikal

Perhatian di arahkan pada pengembangan model, skema dan simbolisasi dari pada hanya mentransfer rumus atau matematika formal secara langsung.

3.    Menggunakan kontribusi siswa

Kontribusi yang besar pada proses belajar mengajar diharapkan dari kontsruksi siswa sendiri yang mengarahkan mereka dari metode informal mereka ke arah yang lebih formal atau standar.

4.    Interaktivitas

Negosisasi secara eksplisit, intervensi, kooperasi dan evaluasi sesama siswa dan guru adalah faktor penting dalam proses belajar secara konstruktif dimana strategi informal siswa digunakan sebagai jantung untuk mencapai yang formal.

5.    Terintegrasi dengan topik pembelajaran lainnya

Pendekatan holistik, menunjukkan bahwa unit-unit belajar tidak akan dapat dicapai secara terpisah tetapi keterkaitan dan keterintegrasian harus di eksploitasi dalam pemecahan masalah.

Model Pembelajaran PMRI

Untuk mendesain suatu model pembelajaran berdasarkan teori PMRI, model tersebut harus merepresentasikan karakteristik PMRI baik pada tujuan, materi, metode dan evaluasi (Zulkardi, 2002; 2004).

1.    Tujuan

Dalam mendesain tujuan haruslah melingkupi tiga level tujuan dalam RME: lower level, middle level, and high level’. Jika pada level awal lebih difokuskan pada ranah kognitif maka dua tujuan terakhir menekankan pada ranah afektif and psikomotorik seperti kemampuan berargumentasi, berkomunikasi, justifikasi dan pembentukan sikap kritis siswa.

2.    Materi

Desain suatu open material atau materi terbuka yang disituasikan dalam realitas, berangkat dari konteks yang berarti; yang membutuhkan; keterkaitan garis pelajaran terhadap unit atau topik lain yang real secara original seperti pecahan dan persentase; dan alat dalam bentuk model atau gambar, diagram dan situasi atau simbol yang dihasilkan pada saat proses pembelajaran. Setiap konteks biasanya terdiri dari rangkaian soal-soal yang menggiring siswa kepenemuan konsep matematika suatu topik.

3.    Aktivitas

Atur aktivitas siswa sehingga mereka dapat berinteraksi sesamanya, diskusi, negosiasi, dan kolaborasi. Pada situasi ini mereka mempunyai kesempatan untuk bekerja, berfikir dan berkomunikasi tentang matematika. Peranan guru hanya sebatas fasilitator atau pembimbing, moderator dan evaluator.