Geometri Euclid

Geometri Euclid

Semasa hidupnya, Euclid menghasilkan banyak karya. Karyanya yang paling berpengaruh berjudul (Euclid’s Elements), yang merupakan risalah tentang matematika dan geometri yang terdiri dari 13 Buku (Buku I hingga Buku XIII).
Dalam risalah tersebut, terdapat kumpulan :

· 131 definisi
· 5 postulat
· 5 notasi umum
· 465 proposisi

Garis besar isi masing-masing buku adalah :
Buku I : Geometri bidang yang melibatkan garis lurus
Buku II : Aljabar geometri
Buku III : Geometri bidang yang melibatkan lingkaran
Buku IV : Konstruksi tentang garis lurus di dalam dan keliling lingkaran
Buku V : Perbandingan
Buku VI : Bentuk yang sebangun
Buku VII : Dasar-dasar teori bilangan
Buku VIII : Perbandingan lanjutan
Buku IX : Aplikasi teori bilangan
Buku X : Besaran yang tidak dapat dibandingkan
Buku XI : Dasar ilmu ukur bidang dan ruang/dimensi 3
Buku XII : Kesebangunan pada segi banyak beraturan dan bangun ruang
Buku XIII : Benda pejal/padat

Pada bahasan ini akan membahas tentang pengertian dan euclid’s element dari komponen utama yang digunakan dalam geometri.

1. Definisi
Definisi adalah rumusan tentang makna dari suatu benda, aktifitas, proses dan yang lainnya yang menjadi suatu konsep atau pokok bahasan agar lebih mudah dipahami dan memiliki batasan untuk lebih mudah dimengerti. Dalam pembelajaran matematika, definisi dari suatu pokok bahasan menjadi bagian penting untuk dijelaskan terlebih dahulu kepada siswa. Dalam pembelajaran geometri ada beberpa definisi pada komponen utama geometri euclid yang tercantum pada buku 1 “the element”, yaitu:

· Definisi 1: Titik adalah sesuatu yang tidak punya bagian (sesuatu yang punya posisi tetapi tidak punya dimensi)
· Definisi 2: garis sesuatu yang punya panjang tetapi tidak punya lebar
· Definisi 3: Ujung-ujung suatu garis adalah titik
· Definisi 4: Garis lurus adalah garis yang terletak secara rata dengan titik-titik pada dirinya
· Definisi 5: Bidang adalah sesuatu yang hanya mempunyai panjang dan lebar
· Definisi 6: Sisi-sisi dari bidang berupa garis
· Definisi 7: Bidang datar adalah bidang yang terletak secara rata dengan garis-garis lurus pada dirinya
· Definisi 8: Sudut bidang terbentuk dari dua garis pada bidang yang bertemu pada sebuah titik dan tidak terletak dalam sebuah garis lurus
· Definisi 9: Dan ketika garis-garis yang membentuk sudut lurus, sudut tersebut disebut rectilinear
· Definisi 10: Ketika garis lurus berdiri pada sebuah garis lurus dan membentuk sudut berdekatan yang besarnya sama, masing-masing sudut tersebut adalah sudut siku-siku, dan garis yang berdiri dikatakan tegak lurus dengan garis kurus tempatnya berdiri
· Definisi 11: Sudut tumpul adalah sudut yang lebih besar dari sudut siku-siku.
· Definisi 12: Sudut lancip adalah sudut yang lebih kecil dari sudut siku-siku.
· Definisi 13: Batas adalah sesuatu yang merupakan ujung dari apapun
· Definisi 14: Bangun adalah sesuatu yang dibentuk oleh batas atau batas-batas.
· Definisi 15: Lingkaran adalah bangun datar yang dibentuk oleh satu garis sedemikian hingga semua garis lurus yang jatuh pada bangun tersebut dari sebuah titik di dalam bangun tersebut pada bangun tersebut panjangnya sama
· Definisi 16: Dan titik tersebut disebut pusat lingkaran
· Definisi 17: Diameter lingkaran adalah suatu garis lurus yang digambar melalui pusat lingkaran dan berakhir di dua arah keliling lingkaran
· Definisi 18: Setengah lingkaran adalah bangun yang dibangun oleh diameter dan keliling lingkaran yang dipotong oleh diameter
· Definisi 19: Bangun-bangun rectilinear adalah bangun-bangun yang dibentuk oleh garis luru Bangun segitiga adalah bangun yang dibentuk oleh tiga garis lurus, bangun segiempat adalah bangun yang dibentuk oleh empat garis lurus, bangun segibanyak adalah bangun yang dibentuk oleh lebih dari empat garis lurus
· Definisi 20: Dari bangun segitiga, segitiga sama sisi adalah segitiga yang memiliki tiga sisi yang sama, segitiga sama kaki adalah segitiga yang memiliki dua sisi yang sama, segitiga sembarang (segitiga tak sama panjang) adalah segitiga yang ketiga sisinya tidak ada yang sama
· Definisi 21: Selanjutnya, pada bangun segitiga, segitiga siku-siku adalah segitiga yang memiliki sudut siku- siku, segitiga tumpul adalah segitiga yang memiliki sudut tumpul, segitiga lancip adalah segitiga yang memiliki sudut lancip
· Definisi 22: Pada bangun segiempat, persegi adalah bangun yang semua sisinya memiliki panjang yang sama dan memiliki sudut siku-siku, persegi panjang adalah bangun yang memilik sudut siku- siku tetapi tidak memiliki dua pasang sisi yang panjangnya sama, belah ketupat adlah bangun yang semua panjang sisinya sama tetapi tidak memiliki sudut suku-siku
· Definisi 23: Garis-garis lurus sejajar adalah garis lurus yang berada pada bidang datar yang sama, dan jika diperpanjang secara terus menerus pada kedua arah tidak akan berpotongan .

2. Aksioma
Aksioma adalah pernyataan yang diakui kebenarannya tanpa memerlukan pembuktian (Pratama & Hernadi, 2018). Contoh aksioma pada geometri euclid yang tercantum pada buku “the element” adalah :
· Aksioma 1: Hal-hal yang sama adalah sama dengan suatu yang lain
· Aksioma 2: Jika sesuatu yang sama ditambah dengan sesuatu yang sama, jumlahnya sam A=B, C=D maka A+C=B+D
· Aksioma 3: Jika sesuatu yang sama dikurangi dengan sesuatu yang sama, sisanya sama
· Aksioma 4: Hal-hal yang berimpit satu sama lain, hal-hal tersebut sama
· Aksioma 5: Keseluruhan lebih besar dari pada sebagian

3. Postulat
Postulat adalah asumsi yang menjadi pangkal dalil yang dianggap benar tanpa perlu membuktikannya. Contoh postulat pada geometry euclid adalah:
· Postulat 1: Melalui dua titik sebarang dapat dibuat garis lurus
· Postulat 2: Ruas garis dapat diperpanjang secara kontinu menjadi garis lurus
· Postulat 3:Melalui sebarang titik dan sebarang jarak dapat dilukis lingkaran
· Postulat 4: Semua sudut siku-siku sama
· Postulat 5: Jika suatu garis lurus memotong dua garis lurus dan membuat sudut-sudut dalam sepihak kurang dari dua sudut siku-siku, kedua garis tersebut jika diperpanjang tak terbatas, akan bertemu dipihak tempat kedua sudut dalam sepihak kurang dari dua sudut siku-siku

4. Proposisi
Proposisi adalah suatu hasil yang terbukti dan sering menarik.
Contoh proposisi geometry euclid:
· Proposisi 1: Jika diberikan garis lurus dengan panjang terbatas, maka dapat dibuat segitiga sama sisi.
· Proposisi 2: Jika diberikan sebuah garis lurus dan sebuah titik di luar garis, maka melalui titik tersebut dapat dibuat garis lurus yang panjangnya sama dengan garis lurus yang diberikan.
· Proposisi 3: Jika diberikan dua garis lurus dengan panjang berbeda, maka garis lurus yang lebih panjang dapat dipotong sehingga panjangnya sama dengan garis lurus yang lebih pendek.
· Proposisi 4: Jika dua buah segitiga memiliki dua sisi bersesuaian yang panjangnya sama dan sudut-sudut yang dibentuk oleh kedua sisi tersebut besarnya juga sama, maka panjang sisi dan besar sudut yang bersesuaian lainnya juga sama.
· Proposisi 5: Dalam segitiga sama kaki, sudut-sudut alas besarnya sama dan jika kedua kaki diperparjang maka sudut-sudut di bawah alas juga sama besar.
· Proposisi 6: Jika dua sudut dalam sebuah segitiga besarnya sama, maka sisi-sisi yang berhadapan dengan sudut tersebut panjangnya juga sama.
· Proposisi 7: Jika alas dua buah segitiga berimpit, dan sisi-sisi yang bersesuaian pada dalam segitiga-segitiga tersebut sama panjang dan searah, maka titik potong sisi-sisi yang bersesuaian dalam setiap segitiga berimpit
· Proposisi 8: Jika sisi-sisi yang bersesuaian dalam setiap segitiga panjangnya sama, maka sudut-sudut yang bersesauaian besarnya juga sama.
· Proposisi 9: Sudut rectilinear dapat dibagi menjadi dua sama besar.
· Proposisi 10: Garis lurus terbatas dapat dibagi menjadi dua bagian yang sama panjang
· Proposisi 11: Jika diberikan sebuah garis lurus dan sebuah titik pada garis lurus tersebut, maka melalui titik tersebut dapat dibuat garis lurus yang tegak lurus pada garis lurus yang diberikan
· Proposisi 12: Jika diberikan sebuah garis lurus dan sebuah titik di luar garis lurus tersebut, maka melalui titik tersebut dapat dibuat garis lurus yang tegak lurus pada garis lurus yang di berikan.
· Proposisi 13: jika sebuah garis lurus berdiri pada sebuah garis lurus, maka akan membentuk dua sudut siku siku atau sudut yang jumlahnya sama dengan dua sudut siku siku.
· Proposisi 14: Diberikan sebuah garis lurus dan sebuah titik pada garis tersebut, jika dua daris lurus melalui titik tersebut dan membentuk sudut yang besarnya sama dengan dua kali sudut siku-siku, maka kedua garis lurus tersebut segaris.
· Proposisi 15: Jika dua buah garis lurus berpotongan, maka akan terbentuk dua sudut bertolak belakang yang besarnya sama. Akibat : jika dua buah garis lurus berpotongan, maka sudut-sudut pada titik potong tersebut jumlahnya sama dengan empat sudut siku siku.
· Proposisi 16: Jika salah satu sisi dalam segitiga diperpanjang, maka sudut eksteriornya lebih besar dari pada sudut interior yang tidak bersisian.
· Proposisi 17: Jumlah dua sudut dalam segitiga kurang dari dua sudut siku-siku.
· Proposisi 18: Dalam segitiga, sudut dihadapan sisi yang lebih panjang juga lebih besar.
· Proposisi 19: Dalam segitiga, sisi dihadapan sudut yang lebih besar juga lebih panjang.
· Proposisi 20: Jumlah dua sisi dalam segitiga lebih besar dari sisi yang lainnya.
· Proposisi 21: Jika dari ujung –ujung ujung salah satu sisi segitiga dibuat dua garis lurus sedemikian hingga membentuk segitiga baru, maka jumlah kedua sisi (yang tidak berimpit) segitiga baru lebih kecil daripada jumlah kedua sisi (yang tidak berimpit) segitiga awal, tetapi besar sudut yang dibentuk lebih besar.
· Proposisi 22 Jika diberikan tiga garis lurus maka dari garis lurus, maka dapat dibentuk sebuah segitiga.
· Proposisi 23: Jika diberikan sebuah sudut dan sebuah garis lurus, maka melalui garis lurus tersebut dapat dibuat sudut yang besarnya sama dengan yang diberikan.
· Proposisi 24: Jika dua buah segitiga memiliki dua sisi yang bersesuaian, tetapi sudut yang dibentuk oleh sisi- sisi tersebut pada segitiga pertama lebih besar, maka alas segitiga pertama lebih panjang.
· Proposisi 25: Jika dua buah segitiga memiliki dua bersesuaian sisi yang sama besar, tetapi sisi lainnya pada segitiga pertama lebih besar daripada yang di segitiga yang ke dua, maka sudut yang berhadapan dengan sisi yang lebih besar pada segitiga pertama juga lebih besar daripada yang di segitiga ke dua.
· Proposisi 26: Jika dua buah segitiga memiliki dua sudut bersesuaian sama besar dan sisi yang terkait dengan sudut-sudut tersebut sama panjang, maka sudut dan sisi yang bersesuaian lainnya juga sama besar.
· Proposisi 27: Jika sebuah garis lurus memotong dua garis lurus dan membentuk sudut dalam berseberangan yang sama besar, maka kedua garis lurus yang dipotong btersebut sejajar.
· Proposisi 28: Jika sebuah garis lurus memotong dua garis lurus dan membentuk sudut eksterior sama dengan sudut interior yang tidak bersisian (sehadap), atau jumlah sudut interiornya sama dengan dua sudut siku-siku, maka kedua garis lurus yang dipotong tersebut sejaj
· Proposisi 29: Jika sebuah garis lurus memotong dua garis lurus yang sejajar dan membentuk sudut dalam berseberangan yang sama besar, maka sudut eksterior sama dengan sudut interior yang tidak bersisian (sehadap), dan jumlah sudut interiornya sama dengan dua sudut siku-siku.
· Proposisi 30: Jika dua buah garis lurus sejajar dengan sebuah garis lurus, maka kedua garis lurus tersebut sejajar satu sama lain.
· Proposisi 31: Melalui sebuah titk di luar garis lurus dapat dibuat garis lurus yang sejajar dengan garis lurus tersebut.
· Proposisi 32: Dalam sebuah segitiga, jika salah satu sisi diperpanjang, maka besar sudut eksterior sama dengan jumlah besar sudut interior yang tidak bersisian.
· Proposisi 33: Garis lurus yang terkait dengan ujung-ujung garis lurus yang sejajar dan sama panjang juga sejajar dan sama panj
· Proposisi 34: Dalam jajar genjang, sudut-sudut yang tidak bersisian (berhadapan) sama besar dan diagonalnya membagi dua daerahnya sama besar.
· Proposisi 35: Jika dua buah jajargenjang terletak pada garis-garis sejajar yang sama dan alasanya berimpit maka luas kedua jajargenjang tersebut sam
· Proposisi 36: Jika dua buah jajargenjang terletak pada garis-garis sejajar yang sama dan alasanya sama panjang maka luas kedua jajargenjang tersebut sama
· Proposisi37: Jika dua buah segitiga terletak pada garis-garis sejajar yang sama dan alasnya berimpit maka luas kedua jajargenjang tersebut sam
· Proposisi 38: Jika dua buah segitiga terletak pada garis-garis sejajar yang sama dan alasanya sama panjang maka luas kedua jajargenjang tersebut sam
· Proposisi 39: Jika dua buah segitiga memiliki luas yang sama dan alasnya serta sisinya berimpit, maka kedua segitiga tersebut terletak pada garis-garis sejajar yang sam
· Proposisi 40: Jika dua buah segitiga memiliki luas yang sama dan alasnya serta sisinya sama panjang, maka kedua segitiga tersebut terletak pada garis-garis sejajar yang sam
· Proposisi 41: Jika sebuah jajargenjang memiliki alas yang berimpit dengan alas sebuah segitiga dan terletak dalam garis sejajar yang sama, maka luas jajargenjang sama dengan dua kali alas segitiga
· Proposisi 42: Jika diberikan sebuah segitiga dan sebuah sudut rectilinear, maka melalui sudut rectilinier tersebut dapat dibuat jajargenjang yang luasnya sama dengan dua kali luas segitiga tersebut.
· Proposisi 43: Dalam jajargenjang, komplemen-komplemen jajargenjang pada diagonal memiliki luas yang sama
· Proposisi 44: Jika diberikan sebuah garis lurus, sebuah sudut rectilinear, dan sebuah segitiga, maka melalui sudut dan garis lurus tersebut dapat dibuat sebuah jajargenjang yang luasnya sama dengan dua luas segitiga yang diberikan.
· Proposisi 45: Jika diberikan sebuah sudut dan sebuah bidang rectilinear, maka melalui sudut tersebut dapat dibuat jajargenjang yang luasnya sama dengan bidang yang diberikan.
· Proposisi 46: Melalui sebuah garis dapat dibuat sebuah jajargenj
· Proposisi 47: Dalam segitiga siku-siku, kuadrat sisi di hadapan sudut siku-siku sama dengan jumlah kuadrat dua sisi yang lainny
· Proposisi 48: Jika dalam segitiga kuadrat salah satu sisi sama dengan jumlah kuadrat dua sisi yang lainnya, maka sudut yang dibentuk oleh dua sisi yang lainnya tersebut adalah siku-siku.