Geometri - Persegi Panjang

Persegi Panjang

Apa itu persegi panjang ? kalian sudah tau, Persegi Panjang (rectangle) ialah sebuah bangun datar yang mempunyai dua dimensi yang terbentuk oleh dua buah pasang rusuk dan disetiap rusuknya sama panjang dan juga sejajar sesuai pasangannya, serta memiliki empat buah sudut berbentuk sudut siku – siku. Persegi panjang merupakan turunan dari segi empat yang mempunyai ciri khusus dua sisi sejajar sama panjang dan keempat sudutnya siku-siku (90°). Rusuk terpanjang disebut sebagai panjang (p) dan rusuk terpendek disebut sebagai lebar (l).

Persegi Panjang juga memiliki sifat tersendiri, yaitu :

Persegi panjang memiliki sisi yang berhadapan dan juga sama panjang.

Persegi panjang juga memiliki empat sudut yang siku – siku.

Persegi panjang memiliki diagonal yang sama panjang dan juga saling membagi dua sama panjang.

Rumus Persegi Panjang

Luas persegi panjang :

L = panjang x lebar = P x l

Keliling persegi panjang :

K = 2p + 2l = 2(p + l)

Contoh soal

Kolam ikan kakek mempunyai luas 350 dm2 dan lebarnya 50 dm. Panjang kolam ikan kakek adalah .... dm.

Penyelesaian :

Diketahui : L = 350 dm2 ; l = 50 dm

Ditanyakan : p = ....dm

Jawab :

p = L : l

p = 350 : 50

p = 70 dm

Panjang kolam ikan kakek adalah 70 dm atau 7 m.

Geometri - Segitiga

Segitiga

Segitiga adalah bangun datar yang dibatasi oleh tiga garis lurus memiliki tiga titik sudut. Dimana jumlah ketiga titik sudut tersebut adalah 180 derajat

Jenis-jenis Segitiga

a. Jenis segitiga berdasarkan besar sudutnya.

1) Segitiga lancip (acute triangle) adalah segitiga yang semua sudutnya kurang dari 90°.

2) Segitiga siku-siku (right triangle): Segitiga yang salah satu sudutnya 90°.

3) Segitiga tumpul (obtuse triangle): segitiga yang salah satu sudutnya lebih besar dari 90°.

b. Jenis-jenis segitiga dilihat dari panjang sisinya.

1) Segitiga sebarang (scalene triangle), segitiga yang sisi-sisinya tidak ada yang sama panjang.

2) Segitiga samakaki (isosceles triangle), segitiga yang dua sisinya sama panjang. Sisi yang sama panjang disebut sebagai kaki, sedangkan sisi lainnya sebagai alas. Sudut yang terletak pada pertemuan kedua kaki segitiga disebut sebagai sudut puncak, sedangkan sudut lainnya disebut sebagai sudut alas.

3) Segitiga samasisi (equilateral triangle): Segitiga yang semua sisinya sama panjang. Dengan memandang segitiga sama sisi sebagai segitiga samakaki (dua sisi sebagai kaki, dan satu sisi lainnya sebagai alas), maka dapat ditunjukkan bahwa segitiga samasisi memiliki tiga sumbu simetri. Dapat ditunjukkan juga bahwa ketiga sumbu simetri ini berpotongan di satu titik (misal titik O) dan membentuk sudut 120°. Dari sini dapat disimpulkan juga bahwa segitiga samasisi memiliki simetri putar tingkat 3. Artinya jika segitiga tersebut diputar dengan pusat O akan menempati posisinya dengan tiga cara

Garis-garis istimewa pada suatu segitiga

a. Garis Tinggi suatu segitiga adalah garis yang melalui suatu titik sudut dan tegak lurus terhadap garis yang memuat sisi di depan sudut tersebut.

Sesuai dengan definisinya, garis tinggi tidak selalu dalam posisi vertikal, tetapi dapat juga miring, bahkan horizontal. Sebagai ilustrasi, misalkan tinggi Doni 1,5 meter, tentunya tinggi Doni tidak berubah ketika ia tidur dan tetap diukur dari ujung kaki sampai ujung kepala. Karena segitiga memiliki tiga titik sudut yang dapat dianggap sebagai puncak maka garis tinggi segitiga ada tiga buah. Garis-garis tinggi suatu segitiga berpotongan di satu titik, yang disebut sebagai orthocenter. Cobalah untuk menemukan garis tinggi segitiga siku-siku.

b. Garis Berat suatu segitiga adalah garis yang melalui titik sudut segitiga dan titik tengah sisi di depannya.

Karena segitiga memiliki tiga sudut, maka terdapat tiga garis berat dalam sebuah segitiga. Ketiga garis berat ini berpotongan di satu titik yang disebut sebagai titik berat (centroid). Titik berat ini merupakan pusat kesetimbangan segitiga. Jika sebuah segitiga digantungkan tepat pada titik beratnya, maka segitiga tersebut akan berada pada posisi horisontal.

c. Garis bagi sudut suatu segitiga adalah garis yang membagi sudut dalam suatu segitiga sehingga menjadi dua bagian yang sama besar. Berdasarkan ketentuan ini, terdapat tiga garis bagi sudut suatu segitiga. Garis bagi sudut segitiga berpotongan di satu titik yang disebut incenter segitiga. Titik ini merupakan titik pusat lingkaran dalam segitiga (lingkaran di dalam segitiga yang menyinggung semua sisinya).

d. Garis sumbu segitiga (perpendicular bisector of a side of a triangle) merupakan garis bagi tegak lurus setiap sisi segitiga tersebut. Ketiga garis sumbu ini berpotongan di satu titik yang juga merupakan pusat lingkaran luar segitiga (lingkaran yang melalui semua titik sudut segitiga).

Postulat Kekongruenan Segitiga

a. Postulat I :

Dua segitiga kongruen jika ketiga sisi yang bersesuaian sama panjang (ss-ss-ss atau s-s-s).

b. Postulat II :

Jika dua sisi dan sebuah sudut di antara keduanya pada suatu segitiga kongruen dengan dua sisi dan sudut di antaranya pada segitiga yang lain, maka kedua segitiga tersebut kongruen.

c. Postulat III

Jika dua sudut dan sisi di antara dua sudut pada suatu segitiga kongruen dengan dua sudut dan 

Geometri - Tabung

Tabung

Dalam matematika terdapat beberapa bangun ruang salah satunya adalah Tabung. Banyak yang belum memahami dengan baik tentang penyelesaian masalah tabung, baik dari Definisi, unsur-unsur dan Penentuan Rumus-rumus Pada tabung. Penulis mengangkat makalah yang berjudul “Tabung” untuk memahami lebih jelas lagi tentang Tabung.

·      Pengertian

Tabung atau silinder adalah bangun ruang tiga dimensi yang dibentuk oleh dua buah lingkaran identik yang sejajar dan sebuah persegi panjang yang mengelilingi kedua lingkaran tersebut. Tabung memiliki 3 sisi dan 2 rusuk.

Kedua lingkaran disebut sebagai alas dan tutup tabung serta persegi panjang yang menyelimutinya disebut sebagai selimut tabung.

                             

·      Sifat sifat Tabung

Memiliki 2 sisi berbentuk lingkaran dan 1 sisi berbentuk bidang lengkung

Memiliki 2 rusuk lengkung

Tidak memiliki titik sudut

·      Unsur unsur Tabung

Tabung mempunyai 3 sisi yaitu sisi atas, sisi bawah dan sisi lengkung/sisi tegak (yang selanjutnya disebut selimut tabung).

Sisi alas dan sisi atas (tutup) berbentuk lingkaran yang kongruen (sama bentuk dan ukurannya).

Tabung mempunyai 2 rusuk yang masing-masing berbentuk lingkaran.

Tabung tidak mempunyai titik sudut.

·      Rumus Luas Tabung

Luas Bidang Lengkung Tabung    =   Luas Persegi Panjang

=   p x l

=   Keliling lingkaran x tinggi tabung

=   (2π) x (t)

=   2π r t

Luas Seluruh Permukaan Tabung = Luas Seluruh Bidang Sisi Tabung

=   Luas Bidang Lengkung Tabung + 2 Luas Alas (Lingkaran)

=   2πrt + 2 (πr^2)

=   2πr (r + t)

Geometri - Bola

Mungkin Anda tidak asing dengan benda yang namanya bola. Benda yang berbentuk bundar ini sering dipakai dalam permainan basket, voly, sepak bola, golf, kasti, dan lain sebagaimnya. Bola memiliki ukuran yang berbeda-beda tergantung jenis permainannya. 

Sesuai dengan namanya, bola berbentuk bangun ruang bola. Tahukah Anda apa pengertian bangun ruang bola?

Bola adalah bangun ruang sisi lengkung yang dibatasi oleh satu bidang lengkung. Bola didapatkan dari bangun setengah lingkaran yang diputar satu putaran penuh atau 360 derajat pada garis tengahnya.

Unsur-unsur bola diuraikan sebagai berikut :

1) Titik O dinamakan titik pusat bola.

2) Ruas garis OA dinamakan jari-jari bola.

3) Ruas garis CD dinamakan diameter bola. Jika kamu amati, ruas garis AB juga merupakan diameter bola. AB dapat pula disebut tinggi bola.

4) Sisi bola adalah kumpulan titik yang mempunyai jarak sama terhadap titik O. Sisi tersebut dinamakan selimut atau kulit bola.

5) Ruas garis ACB dinamakan tali busur bola. Sebutkan tali busur bola lainnya.

6) Ruas-ruas garis pada selimut bola yaitu ACBDA dinamakan garis pelukis bola

Rumus Bola

Luas permukaan setengah bola = luas persegi panjang

= p × l

= 2πr× r

= 2πr^2

Sehingga, luas permukaan bola = 2 × luas permukaan setengah bola = 2 × 2πr^2

Geometri - Jajar Genjang

Jajar genjang

·      Pengertian Jajar Genjang

Apa sih Jajar Genjang itu ?

Jajar genjang atau biasa di sebut juga dengan jajaran genjang (parallelogram) yaitu sebuah bangun datar yang berbentuk segi empat dengan sisi – sisi berhadapan sama panjang atau sejajar, juga memiliki sudut yang berhadapan dan kedua diagonalnya saling berpotongan ditengah tengah.

·      Jenis-Jenis Jajar Genjang

Banyak jenis jajar genjang, tetapi segitiga dibagi menjadi 3 yang utama yaitu :

Jajar Genjang memiliki sisi yang berhadapan sama panjang dan sejajar.

Jajar Genjang memiliki sudut yang berdekatan dan jumlahnya adalah 180 derajat

Jajar Genjang memiliki kedua diagonalnya saling berpotongan ditengah tengah.

·      Rumus Luas Jajar Genjang

Untuk rumus luas jajar genjang sendiri hanya sederhana jadi jangan terkecoh dengan soal yang mengatakan ada beberapa diantaranya rumus jajar genjang tak beraturan ataupun beraturan.

Inilah Luas Jajar Genjang :

L = alas x tinggi = a x t

Sedangkan untuk rumus keliling jajar genjang ialah :

Kll = AB + BC + CD + DA atau

Kll = 2 (AB + BC) atau

Kll = 2 x alas + 2 x sisi miring

           

Lah, Mengapa rumus pada jajar genjang hampir sama dengan bangun persegi panjang yaa?

Karena apabilan bagian kiri dari jajar genjang di potong kemudian di gabungkan dengan bagian di sebelah kanan maka akan terbentuklah sebuah bangun datar persegi panjang, itulah mengapa prinsip menghitung luas dan keliling kedua bangun datar ini hampir sama.

Geometri - Lingkaran

Banyak benda disekitar kita yang bentuknya lingkaran. Bagaimana sih ciri-ciri atau bagian-bagian dari benda tersebut?
Sebelum kita mengetahui bagian-bagian lingkaran, haruslah kita ketahui apa itu lingkaran?
Lingkaran salah satu bentuk dari bangun datar. Lingkaran merupakan kumpulan titik pada garis lengkung yang mempunyai jarak sama terhadap titik tertentu yang disebut titik pusat lingkaran.
Berdasarkan pengertian lingkaran,apakah benda yang kalian temukan merupakan bangun datar lingkaran atau bukan ?
Berikut contoh dan penjelasan dari unsur-unsur lingkaran :

1. Titik Pusat

Titik pusat pada lingkaran merupakan sebuah titik yang terletak tepat ditengah-tengah lingkaran. Pada gambar di atas titik pusat lingkarannya terletak di huruf O.

2. Jari-jari

Jari jari lingkaran yaitu garis yang menghubungkan titik pusat lingkaran dengan titik pada keliling lingkaran.

Garis berwarna merah yaitu garis OA, OB, OC dan OD pada gambar di atas merupakan jari-jari lingkaran.

3. Diameter

Diamater adalah ruas garis lurus yang menghubungkan dua titik pada keliling lingkaran yang melalui titik pusat lingkaran.

Garis AD dan BC pada gambar diatas di sebut garis tengah atau diameter lingkaran .  

Dari hal ini kita dapat mengambil kesimpulan yaitu jari-jari lingkaran mempunyai nilai setengah dari diameter atau diameter mempunyai nilai dua kali jari-jari. Sehingga bisa di tulis d = 2r.

4. Busur Garis

Busur lingkaran adalah kurva atau garis lengkung yang menjadi bagian dari keliling lingkaran.

Garis lengkung yang berwarna merah CD pada gambar di atas disebut dengan busur lingkaran. 

Busur terbagi menjadi dua yaitu busur kecil dan busur besar. 

Disebut busur kecil jika panjangnya kurang dari setengah lingkaran dan disebut busur besar jika panjangnya lebih dari setengah lingkaran.

5. Tali Busur

Tali busur yaitu ruas garis lurus yang menghubungkan dua titik pada keliling lingkaran dan tidak melewati titik pusat lingkaran.

Garis berwarna meraah yaitu garis CD adalah contoh tali busur lingkaran.

Jika kita ibaratkan maka tali busur umpama tali pada busur panah.

6. Tembereng

Tembereng merupakan daerah yang di dalam lingkaran yang di batasi oleh tali busur dan busur lingkaran. 

Pada gambar di atas daerah yang berwana kuning disebut tembereng yang di batasi oleh busur CD dan tali busur CD.

7. Juring

Juring merupakan daerah yang di batasi oleh dua garis jari-jari dan sebuah busur lingkaran yang posisinya diapit oleh dua buah jari-jari tersebut. Pada gambar di atas daerah yang dinamakan juring sebagai contoh adalah daerah yang di warnai kuning yaitu juring BOA. 

Juring terbagi menjadi dua yaitu juring besar dan juring kecil.

8. Apotema

Garisberwarna merah pada gambar di atas disebut apotema, yaitu jarak terpendek antara tali busur dengan titik pusat lingkaran. Garis apotema tegak lurus dengan tali busur,sehingga membentuk sudut siku-siku .

9. Sudut Pusat

Sudut pusat adalah sudut yang terbentuk dari perpotongan dua buah jari-jari (OA dan OB) di titik pusat lingkaran. Sudut yang terbentuk antara titik A, O, dan B merupakan sudut pusat lingkaran yakni ∠AOB.

10.Sudut Keliling

Sudut keliling pada lingkaran adalah sudut yang terbentuk oleh pertemuan antara dua tali busur pada satu titik di keliling lingkaran. Jika kamu perhatikan gambar di atas tali busur AC dan tali busur BC yang bertemu di titik C dan membentuk sudut keliling ACB.

Geometri Euclid

Geometri Euclid

Semasa hidupnya, Euclid menghasilkan banyak karya. Karyanya yang paling berpengaruh berjudul (Euclid’s Elements), yang merupakan risalah tentang matematika dan geometri yang terdiri dari 13 Buku (Buku I hingga Buku XIII).
Dalam risalah tersebut, terdapat kumpulan :

· 131 definisi
· 5 postulat
· 5 notasi umum
· 465 proposisi

Garis besar isi masing-masing buku adalah :
Buku I : Geometri bidang yang melibatkan garis lurus
Buku II : Aljabar geometri
Buku III : Geometri bidang yang melibatkan lingkaran
Buku IV : Konstruksi tentang garis lurus di dalam dan keliling lingkaran
Buku V : Perbandingan
Buku VI : Bentuk yang sebangun
Buku VII : Dasar-dasar teori bilangan
Buku VIII : Perbandingan lanjutan
Buku IX : Aplikasi teori bilangan
Buku X : Besaran yang tidak dapat dibandingkan
Buku XI : Dasar ilmu ukur bidang dan ruang/dimensi 3
Buku XII : Kesebangunan pada segi banyak beraturan dan bangun ruang
Buku XIII : Benda pejal/padat

Pada bahasan ini akan membahas tentang pengertian dan euclid’s element dari komponen utama yang digunakan dalam geometri.

1. Definisi
Definisi adalah rumusan tentang makna dari suatu benda, aktifitas, proses dan yang lainnya yang menjadi suatu konsep atau pokok bahasan agar lebih mudah dipahami dan memiliki batasan untuk lebih mudah dimengerti. Dalam pembelajaran matematika, definisi dari suatu pokok bahasan menjadi bagian penting untuk dijelaskan terlebih dahulu kepada siswa. Dalam pembelajaran geometri ada beberpa definisi pada komponen utama geometri euclid yang tercantum pada buku 1 “the element”, yaitu:

· Definisi 1: Titik adalah sesuatu yang tidak punya bagian (sesuatu yang punya posisi tetapi tidak punya dimensi)
· Definisi 2: garis sesuatu yang punya panjang tetapi tidak punya lebar
· Definisi 3: Ujung-ujung suatu garis adalah titik
· Definisi 4: Garis lurus adalah garis yang terletak secara rata dengan titik-titik pada dirinya
· Definisi 5: Bidang adalah sesuatu yang hanya mempunyai panjang dan lebar
· Definisi 6: Sisi-sisi dari bidang berupa garis
· Definisi 7: Bidang datar adalah bidang yang terletak secara rata dengan garis-garis lurus pada dirinya
· Definisi 8: Sudut bidang terbentuk dari dua garis pada bidang yang bertemu pada sebuah titik dan tidak terletak dalam sebuah garis lurus
· Definisi 9: Dan ketika garis-garis yang membentuk sudut lurus, sudut tersebut disebut rectilinear
· Definisi 10: Ketika garis lurus berdiri pada sebuah garis lurus dan membentuk sudut berdekatan yang besarnya sama, masing-masing sudut tersebut adalah sudut siku-siku, dan garis yang berdiri dikatakan tegak lurus dengan garis kurus tempatnya berdiri
· Definisi 11: Sudut tumpul adalah sudut yang lebih besar dari sudut siku-siku.
· Definisi 12: Sudut lancip adalah sudut yang lebih kecil dari sudut siku-siku.
· Definisi 13: Batas adalah sesuatu yang merupakan ujung dari apapun
· Definisi 14: Bangun adalah sesuatu yang dibentuk oleh batas atau batas-batas.
· Definisi 15: Lingkaran adalah bangun datar yang dibentuk oleh satu garis sedemikian hingga semua garis lurus yang jatuh pada bangun tersebut dari sebuah titik di dalam bangun tersebut pada bangun tersebut panjangnya sama
· Definisi 16: Dan titik tersebut disebut pusat lingkaran
· Definisi 17: Diameter lingkaran adalah suatu garis lurus yang digambar melalui pusat lingkaran dan berakhir di dua arah keliling lingkaran
· Definisi 18: Setengah lingkaran adalah bangun yang dibangun oleh diameter dan keliling lingkaran yang dipotong oleh diameter
· Definisi 19: Bangun-bangun rectilinear adalah bangun-bangun yang dibentuk oleh garis luru Bangun segitiga adalah bangun yang dibentuk oleh tiga garis lurus, bangun segiempat adalah bangun yang dibentuk oleh empat garis lurus, bangun segibanyak adalah bangun yang dibentuk oleh lebih dari empat garis lurus
· Definisi 20: Dari bangun segitiga, segitiga sama sisi adalah segitiga yang memiliki tiga sisi yang sama, segitiga sama kaki adalah segitiga yang memiliki dua sisi yang sama, segitiga sembarang (segitiga tak sama panjang) adalah segitiga yang ketiga sisinya tidak ada yang sama
· Definisi 21: Selanjutnya, pada bangun segitiga, segitiga siku-siku adalah segitiga yang memiliki sudut siku- siku, segitiga tumpul adalah segitiga yang memiliki sudut tumpul, segitiga lancip adalah segitiga yang memiliki sudut lancip
· Definisi 22: Pada bangun segiempat, persegi adalah bangun yang semua sisinya memiliki panjang yang sama dan memiliki sudut siku-siku, persegi panjang adalah bangun yang memilik sudut siku- siku tetapi tidak memiliki dua pasang sisi yang panjangnya sama, belah ketupat adlah bangun yang semua panjang sisinya sama tetapi tidak memiliki sudut suku-siku
· Definisi 23: Garis-garis lurus sejajar adalah garis lurus yang berada pada bidang datar yang sama, dan jika diperpanjang secara terus menerus pada kedua arah tidak akan berpotongan .

2. Aksioma
Aksioma adalah pernyataan yang diakui kebenarannya tanpa memerlukan pembuktian (Pratama & Hernadi, 2018). Contoh aksioma pada geometri euclid yang tercantum pada buku “the element” adalah :
· Aksioma 1: Hal-hal yang sama adalah sama dengan suatu yang lain
· Aksioma 2: Jika sesuatu yang sama ditambah dengan sesuatu yang sama, jumlahnya sam A=B, C=D maka A+C=B+D
· Aksioma 3: Jika sesuatu yang sama dikurangi dengan sesuatu yang sama, sisanya sama
· Aksioma 4: Hal-hal yang berimpit satu sama lain, hal-hal tersebut sama
· Aksioma 5: Keseluruhan lebih besar dari pada sebagian

3. Postulat
Postulat adalah asumsi yang menjadi pangkal dalil yang dianggap benar tanpa perlu membuktikannya. Contoh postulat pada geometry euclid adalah:
· Postulat 1: Melalui dua titik sebarang dapat dibuat garis lurus
· Postulat 2: Ruas garis dapat diperpanjang secara kontinu menjadi garis lurus
· Postulat 3:Melalui sebarang titik dan sebarang jarak dapat dilukis lingkaran
· Postulat 4: Semua sudut siku-siku sama
· Postulat 5: Jika suatu garis lurus memotong dua garis lurus dan membuat sudut-sudut dalam sepihak kurang dari dua sudut siku-siku, kedua garis tersebut jika diperpanjang tak terbatas, akan bertemu dipihak tempat kedua sudut dalam sepihak kurang dari dua sudut siku-siku

4. Proposisi
Proposisi adalah suatu hasil yang terbukti dan sering menarik.
Contoh proposisi geometry euclid:
· Proposisi 1: Jika diberikan garis lurus dengan panjang terbatas, maka dapat dibuat segitiga sama sisi.
· Proposisi 2: Jika diberikan sebuah garis lurus dan sebuah titik di luar garis, maka melalui titik tersebut dapat dibuat garis lurus yang panjangnya sama dengan garis lurus yang diberikan.
· Proposisi 3: Jika diberikan dua garis lurus dengan panjang berbeda, maka garis lurus yang lebih panjang dapat dipotong sehingga panjangnya sama dengan garis lurus yang lebih pendek.
· Proposisi 4: Jika dua buah segitiga memiliki dua sisi bersesuaian yang panjangnya sama dan sudut-sudut yang dibentuk oleh kedua sisi tersebut besarnya juga sama, maka panjang sisi dan besar sudut yang bersesuaian lainnya juga sama.
· Proposisi 5: Dalam segitiga sama kaki, sudut-sudut alas besarnya sama dan jika kedua kaki diperparjang maka sudut-sudut di bawah alas juga sama besar.
· Proposisi 6: Jika dua sudut dalam sebuah segitiga besarnya sama, maka sisi-sisi yang berhadapan dengan sudut tersebut panjangnya juga sama.
· Proposisi 7: Jika alas dua buah segitiga berimpit, dan sisi-sisi yang bersesuaian pada dalam segitiga-segitiga tersebut sama panjang dan searah, maka titik potong sisi-sisi yang bersesuaian dalam setiap segitiga berimpit
· Proposisi 8: Jika sisi-sisi yang bersesuaian dalam setiap segitiga panjangnya sama, maka sudut-sudut yang bersesauaian besarnya juga sama.
· Proposisi 9: Sudut rectilinear dapat dibagi menjadi dua sama besar.
· Proposisi 10: Garis lurus terbatas dapat dibagi menjadi dua bagian yang sama panjang
· Proposisi 11: Jika diberikan sebuah garis lurus dan sebuah titik pada garis lurus tersebut, maka melalui titik tersebut dapat dibuat garis lurus yang tegak lurus pada garis lurus yang diberikan
· Proposisi 12: Jika diberikan sebuah garis lurus dan sebuah titik di luar garis lurus tersebut, maka melalui titik tersebut dapat dibuat garis lurus yang tegak lurus pada garis lurus yang di berikan.
· Proposisi 13: jika sebuah garis lurus berdiri pada sebuah garis lurus, maka akan membentuk dua sudut siku siku atau sudut yang jumlahnya sama dengan dua sudut siku siku.
· Proposisi 14: Diberikan sebuah garis lurus dan sebuah titik pada garis tersebut, jika dua daris lurus melalui titik tersebut dan membentuk sudut yang besarnya sama dengan dua kali sudut siku-siku, maka kedua garis lurus tersebut segaris.
· Proposisi 15: Jika dua buah garis lurus berpotongan, maka akan terbentuk dua sudut bertolak belakang yang besarnya sama. Akibat : jika dua buah garis lurus berpotongan, maka sudut-sudut pada titik potong tersebut jumlahnya sama dengan empat sudut siku siku.
· Proposisi 16: Jika salah satu sisi dalam segitiga diperpanjang, maka sudut eksteriornya lebih besar dari pada sudut interior yang tidak bersisian.
· Proposisi 17: Jumlah dua sudut dalam segitiga kurang dari dua sudut siku-siku.
· Proposisi 18: Dalam segitiga, sudut dihadapan sisi yang lebih panjang juga lebih besar.
· Proposisi 19: Dalam segitiga, sisi dihadapan sudut yang lebih besar juga lebih panjang.
· Proposisi 20: Jumlah dua sisi dalam segitiga lebih besar dari sisi yang lainnya.
· Proposisi 21: Jika dari ujung –ujung ujung salah satu sisi segitiga dibuat dua garis lurus sedemikian hingga membentuk segitiga baru, maka jumlah kedua sisi (yang tidak berimpit) segitiga baru lebih kecil daripada jumlah kedua sisi (yang tidak berimpit) segitiga awal, tetapi besar sudut yang dibentuk lebih besar.
· Proposisi 22 Jika diberikan tiga garis lurus maka dari garis lurus, maka dapat dibentuk sebuah segitiga.
· Proposisi 23: Jika diberikan sebuah sudut dan sebuah garis lurus, maka melalui garis lurus tersebut dapat dibuat sudut yang besarnya sama dengan yang diberikan.
· Proposisi 24: Jika dua buah segitiga memiliki dua sisi yang bersesuaian, tetapi sudut yang dibentuk oleh sisi- sisi tersebut pada segitiga pertama lebih besar, maka alas segitiga pertama lebih panjang.
· Proposisi 25: Jika dua buah segitiga memiliki dua bersesuaian sisi yang sama besar, tetapi sisi lainnya pada segitiga pertama lebih besar daripada yang di segitiga yang ke dua, maka sudut yang berhadapan dengan sisi yang lebih besar pada segitiga pertama juga lebih besar daripada yang di segitiga ke dua.
· Proposisi 26: Jika dua buah segitiga memiliki dua sudut bersesuaian sama besar dan sisi yang terkait dengan sudut-sudut tersebut sama panjang, maka sudut dan sisi yang bersesuaian lainnya juga sama besar.
· Proposisi 27: Jika sebuah garis lurus memotong dua garis lurus dan membentuk sudut dalam berseberangan yang sama besar, maka kedua garis lurus yang dipotong btersebut sejajar.
· Proposisi 28: Jika sebuah garis lurus memotong dua garis lurus dan membentuk sudut eksterior sama dengan sudut interior yang tidak bersisian (sehadap), atau jumlah sudut interiornya sama dengan dua sudut siku-siku, maka kedua garis lurus yang dipotong tersebut sejaj
· Proposisi 29: Jika sebuah garis lurus memotong dua garis lurus yang sejajar dan membentuk sudut dalam berseberangan yang sama besar, maka sudut eksterior sama dengan sudut interior yang tidak bersisian (sehadap), dan jumlah sudut interiornya sama dengan dua sudut siku-siku.
· Proposisi 30: Jika dua buah garis lurus sejajar dengan sebuah garis lurus, maka kedua garis lurus tersebut sejajar satu sama lain.
· Proposisi 31: Melalui sebuah titk di luar garis lurus dapat dibuat garis lurus yang sejajar dengan garis lurus tersebut.
· Proposisi 32: Dalam sebuah segitiga, jika salah satu sisi diperpanjang, maka besar sudut eksterior sama dengan jumlah besar sudut interior yang tidak bersisian.
· Proposisi 33: Garis lurus yang terkait dengan ujung-ujung garis lurus yang sejajar dan sama panjang juga sejajar dan sama panj
· Proposisi 34: Dalam jajar genjang, sudut-sudut yang tidak bersisian (berhadapan) sama besar dan diagonalnya membagi dua daerahnya sama besar.
· Proposisi 35: Jika dua buah jajargenjang terletak pada garis-garis sejajar yang sama dan alasanya berimpit maka luas kedua jajargenjang tersebut sam
· Proposisi 36: Jika dua buah jajargenjang terletak pada garis-garis sejajar yang sama dan alasanya sama panjang maka luas kedua jajargenjang tersebut sama
· Proposisi37: Jika dua buah segitiga terletak pada garis-garis sejajar yang sama dan alasnya berimpit maka luas kedua jajargenjang tersebut sam
· Proposisi 38: Jika dua buah segitiga terletak pada garis-garis sejajar yang sama dan alasanya sama panjang maka luas kedua jajargenjang tersebut sam
· Proposisi 39: Jika dua buah segitiga memiliki luas yang sama dan alasnya serta sisinya berimpit, maka kedua segitiga tersebut terletak pada garis-garis sejajar yang sam
· Proposisi 40: Jika dua buah segitiga memiliki luas yang sama dan alasnya serta sisinya sama panjang, maka kedua segitiga tersebut terletak pada garis-garis sejajar yang sam
· Proposisi 41: Jika sebuah jajargenjang memiliki alas yang berimpit dengan alas sebuah segitiga dan terletak dalam garis sejajar yang sama, maka luas jajargenjang sama dengan dua kali alas segitiga
· Proposisi 42: Jika diberikan sebuah segitiga dan sebuah sudut rectilinear, maka melalui sudut rectilinier tersebut dapat dibuat jajargenjang yang luasnya sama dengan dua kali luas segitiga tersebut.
· Proposisi 43: Dalam jajargenjang, komplemen-komplemen jajargenjang pada diagonal memiliki luas yang sama
· Proposisi 44: Jika diberikan sebuah garis lurus, sebuah sudut rectilinear, dan sebuah segitiga, maka melalui sudut dan garis lurus tersebut dapat dibuat sebuah jajargenjang yang luasnya sama dengan dua luas segitiga yang diberikan.
· Proposisi 45: Jika diberikan sebuah sudut dan sebuah bidang rectilinear, maka melalui sudut tersebut dapat dibuat jajargenjang yang luasnya sama dengan bidang yang diberikan.
· Proposisi 46: Melalui sebuah garis dapat dibuat sebuah jajargenj
· Proposisi 47: Dalam segitiga siku-siku, kuadrat sisi di hadapan sudut siku-siku sama dengan jumlah kuadrat dua sisi yang lainny
· Proposisi 48: Jika dalam segitiga kuadrat salah satu sisi sama dengan jumlah kuadrat dua sisi yang lainnya, maka sudut yang dibentuk oleh dua sisi yang lainnya tersebut adalah siku-siku.

Sejarah Pyhtagoras

1. Sejarah Pythagoras

Pythagoras adalah seorang matematikawan dan filsuf Yunani yang paling dikenal melalui teoremanya. Dikenal sebagai "Bapak Bilangan", dia memberikan sumbangan yang penting terhadap filsafat dan ajaran keagamaan pada akhir abad ke-6 SM. Kehidupan dan ajarannya tidak begitu jelas akibat banyaknya legenda dan kisah-kisah buatan mengenai dirinya. Phytagoras memiliki peran yang besar terhadap dunia Matematika. Salah satu peninggalan Pythagoras yang terkenal adalah teorema Pythagoras, yang menyatakan bahwa kuadrat hipotenusa dari suatu segitiga siku-siku adalah sama dengan jumlah kuadrat dari kaki-kakinya (sisi-sisi siku-sikunya). Walaupun fakta di dalam teorema ini telah banyak diketahui sebelum lahirnya Pythagoras, namun teorema ini dikreditkan kepada Pythagoras karena ia yang pertama kali membuktikan pengamatan ini secara matematis

Pythagoras dan murid-muridnya percaya bahwa segala sesuatu di dunia ini berhubungan dengan matematika, dan merasa bahwa segalanya dapat diprediksikan dan diukur dalam siklus beritme. Ia percaya keindahan matematika disebabkan segala fenomena alam dapat dinyatakan dalam bilangan-bilangan atau perbandingan bilangan. 

Selain teorema Phytagoras masih ada beberapa aliran matematika Phytagoras yang mempengaruhi perkembangan matematika dunia saat ini yang perlu kita ketahui. Di makalah ini kami akan menyajikan secara rinci tentang bagaimana peran Phytagoras terhadap perkembangan Matematika Dunia serta sejarah singkat mengenai aliran matematika yang dibawanya.

2. Aliran Pythagoras 

2.1.Pythagoras dan Theano

Pythagoras ( 570 – 500 S.M. ) lahir di Samos, pesisir pulau Yunani yang sekarang kita kenal dengan Turki. Menurut Iamblicus, Porphyry dan Diogenes Laertus, Pythagoras belajar dari orang-orang Babilonia, dan ia mungkin telah bertemu dengan Nabi Daniel di Babilonia. Dari lempengan tanah liat Plimpton 322, kita mengenal bahwa sebenarnya bangsa Babilonia telah mengerjakan teori ‘segitiga Pythagoras’ dan Pythagoras mempelajari itu dari mereka. Pythagoras mungkin yang pertama kali menemukan bukti teorema Pythagoras, tetapi tentu saja bukan ia sendiri yang menemukan teorema tersebut. 

Menurut Iamblicus, Porphyry dan Diogenes Laertus, Pythagoras juga belajar dari ‘Magi’ atau aliran Zoroastria. Tentu saja, tidak mungkin Pythagoras berbicara langsung dengan Zoroaster sendiri. Juga tidak mungkin bahwa Pythagoras belajar di India. Dia percaya reinkarnasi yang tentu saja dimiliki oleh bangsa asli India. Barangkali Pythagoras telah bertemu Budha, yang hidup pada jaman yang sama. 

Kira-kira tahun 525 S.M. Pythagoras pindah ke Corton, kota di sebelah selatan Italia, dan mendirikan persaudaraan aliran Pythagoras. Dia menikah dengan wanita aliran Pythagoras yang bernama Theano. Theano mungkin menjadi matematikawati pertama. 

2.2.Mistisme Bilangan 

Sementara Thales menyatakan bahwa “semua adalah air” Pythagoras mengajarkan bahwa “semua adalah bilangan”. Bagi Pythagoras, hal ini berakibat bahwa segala sesuatu dapat dipahami dalam istilah bilangan cacah dan rasionya. Secara khusus, setiap ruas garis adalah suatu bilangan cacah atau rasio bilangan cacah. Meskipun penemuan irasionalitas panjang diagonal persegi dengan panjang sisi 1 dibuat oleh pengikut Pythagoras, Pythagoras sendiri tidak menyadari hal tersebut. 

Pythagoras memberi tempat yang istimewa pada bilangan 10. Dia menyebut bilangan ini “bilangan yang diagungkan”. Dia tertarik dengan bilangan tersebut dengan alasan-alasan berikut. Angka tersebut digunakan oleh orang Yunani kuno sebagai basis perhitungan. Sebagai jumlahan empat bilangan bulat positif pertama, hal ini merepresentasikan dimensi tiga – dengan 1 untuk titik, 2 untuk garis, 3 untuk bidang, dan 4 untuk ruang. Yang terakhir, ada sepuluh titik dalam bintang Pythagoras titik-lima. 

2.3.Matematika Aliran Pythagoras 

Aliran Pythagoras berasal dari semua penemuan matematika mereka untuk Pythagoras, tetapi tidak, pada kenyataannya, kita hanya mengetahui suatu teorema tunggal yang dominan. Prestasi Pythagoras termasuk hal-hal berikut:

• Pembuktian teorema Pythagoras. 

Aliran Pythagoras bertanggung jawab pada pembuktian teorema ini yang ditemukan oleh Euclid. Mereka juga menemukan bukti kebalikan dari teorema ini.

•  Rata-rata. 

Aliran Pythagoras memeriksa rata-rata aritmatika (a+b)/2, rata-rata geometrik , rata-rata harmonik 2ab/(a+b), dan hubungan antara mereka. 

• Bilangan Sempurna dan Bilangan Amicable. 

Suatu bilangan sempurna adalah suatu bilangan bulat positif, sebagai contoh 6, yang mana sama dengan jumlahan faktor sejatinya (faktor selain bilangan itu sendiri), yaitu bahwa: 6 = 1+2+3. Aliran Pythagoras menemukan suatu rumus yang memberikan bilangan sempurna genap. Suatu pasangan amicable adalah dua bilangan bulat positif, yang mana masing-masing merupakan jumlahan faktor sejati dari yang lain. Iamblichus (300 M), menghargai Pythagoras dengan suatu pengetahuan dari pasangan bilangan amicable 220 dan 284. 

• Benda Padat Beraturan (Regular Solid). 

Aliran Pythagoras menemukan bidang 12-beraturan, dan membuktikan bahwa ada 5 polihedra beraturan. Prestasi ini tidak dapat dikalahkan sampai J Kepler (1571 – 1630) menemukan ada bidang beraturan yang lebih kurang dan lebih besar bintang bidang 12.

• Irasionalitas 

Aliran Pythagoras menemukan bahwa itu bukan rasio dari bilangan cacah. Mereka menggunakan penyelesaian bulat persamaan x2 – 2y2 =1 untuk mencari pendekatan yang baik. 

• Bilangan figurative. 

Jika m adalah suatu bilangan bulat positif dan t adalah suatu bilangan bulat nonnegatif, maka suatu bilangan (m+2) -gonal adalah suatu bilangan asli yang berbentuk (m (t2-t)/2) + t 

Beberapa bilangan 3-gonal yang pertama, atau bilangan segitiga, adalah : 0, 1, 3, 6, 10,…

Beberapa bilangan 4-gonal yang pertama, atau bilangan persegi, adalah : 0, 1, 4, 9, 16, …

Beberapa bilangan 5-gonal yang pertama atau bilangan segilima, adalah : 0, 1, 5. 12, 22, …

Bilangan tersebut disebut ‘figurative‘, karena bilangan tersebut dapat ditunjukkan oleh gambar (figure) yang dibuat dari batu kerikil. 

Studi tentang bilangan “figurative” mengingatkan bagian utama dari teori bilangan. Salah satu hal pokok karir C.F Gauss (tahun 1777 – 1855 ) adalah buktinya bahwa setiap bilangan positif adalah jumlah dari 3 bilangan segitiga. Sebagai contoh lain, pada tahun 1989 paper yang berjudul Journal of Number theory oleh N Tzahakis dan B de Weger memperlihatkan bahwa terdapat tepat 6 bilangan segitiga yang merupakan hasil kali tiga bilangan bulat berturutan. (Bilangan yang terbesar dari bilangan segitiga ini adalah 258.474.216). 

• Bilangan Prima

Dalam sejarah Yunani kuno tercatat nama besar Pythagoras (570 – 500 SM), ia sangat terkenal lewat `Theorem of Pythagoras` dan memunculkan bilangan ganda 3 atau dikenal dengan istilah Pythagorean Triples yang sebenarnya telah ada sejak 1000 tahun sebelum masa Pythagoras. Menurut catatan sejarah bangsa Babilonia telah mengenal ganda 3 tersebut, yang terkenal dengan nama Babylonian Triples. Di dalam Babylonian tablet Plimton 322, yang diperkirakan berasal dari tahun 1700 S M, tercatat Babylonian Triples tersebut ketenarannya terkalahkan oleh ketenaran nama Pythagorean Triples. Sebenarnya, diantara keduanya terdapat perbedaan. Pada Babylonian Triples disyaratkan bahwa u dan v sebagai generator 2uv, u2 – v2 dan u2 + v2 yang merupakan ukuran sisi-sisi segitiga siku-siku, harus relatif prima dan tidak mempunyai faktor prima selain 2, 3 atau 5. Sebagai contoh, tiga angka seperti (56,90,106) adalah Babylonian Triples hal ini dimungkinkan karena jika u = 9 dan v = 5 dan disubstitusikan pada generatornya akan menghasilkan bilangan 56, 90, 106, tetapi untuk ketiga bilangan (28,45,53) adalah bilangan Pythagorian Triples tetapi bukan Babylonian Triple, karena untuk u = 7, u memiliki faktor prima 7 bukan 2 atau 3 atau 5.

Istilah Matematika

Dalam pembelajaran matematika dikenal beberapa istilah, namun sering kali kita tidak mengetahui apa arti dari istilah tersebut. Berikut beberapa istilah matematika serta artinya :

Absis: koordinat mendatar suatu titik dalam sistem koordinat bidang yang merupakan jarak titik ke sumbu y, dihitung sepanjang garis yang sejajar sumbu x.

Akar pangkat: akar pangkat n dari suatu bilangan adalah bilangan yang apabila dipangkatkan dengan n akan menghasilkan bilangan semula.

Alas: bagian dasar dari suatu bangun atau benda.

Balok: prisma yang sisi-sisinya berupa empat persegipanjang.

Bangun datar: bangun yang dibuat pada bidang datar.

Bangun ruang: bangun yang memiliki panjang, lebar, dan tinggi (ketebalan).

Bilangan asli: bilangan yang biasanya digunakan untuk menghitung dalam kehidupan sehari-hari, yaitu 1, 2, 3, 4, 5, ….

Bilangan bulat: bilangan asli (bulat positif), bilangan nol, dan bilangan bulat negatif

Busur derajat: alat berbentuk setengah lingkaran, yang digunakan untuk mengukur besarnya suatu sudut.

Data: sekumpulan bilangan atau kata yang didapat dari hasil menghitung, mengukur, atau mencatat sebagai bagian darisebuah proyek, survei, atau eksperimen.

Derajat: satuan ukuran sudut, atau satuan ukuran suhu.

Diagram: gambar yang menyatakan data tertentu.

Diagram batang: diagram yang menggunakan batang segi empat; panjang setiap batang menunjukkan jumlah atau ukuran sesuatu yang dihitung atau diukur.

Diagram lingkaran: diagram yang menggunakan daerah lingkaran untuk menggambarkan suatu keadaan. Diagram tersebut digambar dengan bentuk lingkaran yang dibagi menjadi beberapa bagian.

Diameter: garis yang membagi dua lingkaran menjadi dua bagian sama besar.

Faktor: bilangan yang dapat membagi habis bilangan asli.

Faktor persekutuan: bilangan bulat yang merupakan faktor dari dua bilangan bulat atau lebih.

Faktor persekutuan terbesar (FPB): faktor persekutuan yang terbesar dari dua atau lebih bilangan asli.

Faktorisasi prima: menguraikan bilangan menjadi faktor-daktor prima.

FPB: Faktor Persekutuan Terbesar

Jajargenjang: bangun datar segiempat di mana sisi-sisi yang berhadapannya sejajar dan sama panjang.

Jari-jari: jarak dari pusat lingkaran ke sebuah titik pada lingkaran.

Kuadrat: bilangan yang dikalikan dengan bilangan tersebut dua kali.

Kubik: bilangan pangkat tiga atau bilangan yang dikalikan terhadap bilangan tersebut sebanyak tiga kali.

Keliling: garis yang membatasi suatu bidang

Kelipatan: bilangan hasil kali dari suatu bilangan asli dengan lebih bilangan asli.

Kelipatan persekutuan: bilangan yang menjadi kelipatan dari dua atau lebih bilangan asli.

Koordinat: bilangan yang menunjukkan posisi titik pada sebuah grafik.

KPK : Kelipatan Persekutuan Terkecil

Kuantitas: banyaknya (benda dan sebagainya); jumlah (sesuatu)

Kubik: berpangkat tiga.

Kubus: bangun ruang yang memiliki enam bidang sisi yang berbentuk persegi.

Luas: ukuran dari total permukaan suatu bangun atau benda.

Modus: bilangan yang paling banyak muncul dalam sebuah himpunan bilangan.

Ordinat: koordinat suatu titik pada koordinat Kartesius dalam bidang yang merupakan jarak titik tersebut ke sumbu-x dihitung sepanjang garis yang sejajar sumbu-y.

Pecahan biasa: bilangan yang nilainya tidak bulat.

Penjumlahan: penambahan suatu bilangan atau lebih terhadap  bilangan lainnya

Perkalian: penjumlahan yang dilakukkan berulang

Pengurangan : mengurangkan suatu bilangan dengan bilangan lainnya

Pembagian : membagi suatu dengan bilangan lainnya atau operasi pengurangan bilangan yang sama sampai nol. 

Pembilang: bilangan dalam pecahan yang menunjukkan pembaginya.

Persegi: segiempat yang sama semua sisinya dan sama pula keempat sudutnya; segiempat beraturan.

Persen: nama lain suatu pecahan per seratus.

Peta: gambar atau lukisan pada kertas dan sebagainya yang menunjukkan letak tanah, laut, sungai, gunung, dan sebagainya.

Phi : perbandingan diameter dan keliling lingkaran nilainya  22/7 atau 3,1415926.

Phytagoras: persamaan untuk menghitung sisi segitiga siku-siku

Piktogram: diagram yang menyajikan informasi mengenai gambar-gambar atau simbol-simbol untuk menggantikan kata atau bilangan. Setiap simbol mewakili satu bilangan atau jumlah tertentu.

Prisma: bidang banyak yang memiliki sepasang sisi sejajar dan sebangun disebut alas, serta sisi lain yang didapatkan dengan menghubungkan puncak-puncak dari kedua alasnya.

Prisma tegak: prisma yang sisi-sisinya merupakan jajargenjang.

Prisma segitiga: prisma yang alasnya berupa segitiga.

Prisma segiempat: prisma yang alasnya berupa segiempat.

Prisma segilima: prisma yang alasnya berupa segilima.

Rusuk: garis atau ruas garis yang merupakan perpotongan dua muka bidang suatu bentuk geometri.

Segi banyak: bangun datar atau bidang yang memiliki banyak sisi; bangun yang memiliki tiga sisi lurus atau lebih.

Sisi: salah satu datar dari sebuah bangun ruang.

Skala: perbandingan ukuran besarnya gambar dengan keadaan yang sebenarnya.

Sumbu: garis utama melalui pusat bidang atau bagiannya.

Tabel: daftar bilangan yang disusun dalam baris dan kolom.

Tabung: bangun ruang yang bagian atas dan bawahnya berbentuk lingkaran.

Trapesium: segiempat yang memiliki empat sisi, dua sisi sejajar dan dua sisinya lagi tidak sejajar.

Turus: perhitungan jumlah dengan menggunakan tanda garis lurus atau miring.

Volume: bilangan yang menyatakan suatu besaran tiga dimensi; banyak ruang yang diisi.